选修系列2 C7 C42 = 70． A2
一般地，将n个不同的元素分成m个组，若其中有r个组的元素的个数是均匀的，那么分组的方法是
m
Cn1 Cn 2? m1… Cn ? (m1 + m2 + … + mm ? 1)
rAr
33
mmm
例3 某班级组织10位同学进行社会调查，将10人分成2个、2个、2个、4个共四组，问有多少种不同的分组方法？
解 这是均匀分组问题．因为分成2个、2个、2个、4个的四组，分别有C10，C8，C6，C4 种分法，将它们相乘，其中每一种都重复
3
了A3 次，所以不同的分法数有
2224C10 C8 C6 C4 = 3 150． 3A3
2
2
2
4
练 习
1． 6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
2．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 3．填空：
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数
是 ；
（3）5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ； （4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取出1个元
素，不同方法的种数是 ．
4．学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不
同的选法？
5．凸五边形有多少条对角线？凸n边形呢？
6．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
习题7．3
——————————————————————————————————————————————— 感受·理解 1．已知不在同一条直线上的三点A，B，C，D每次取出两个点，可以作几条
直线？写出所有的直线． 2．计算：
（1）C15； （2）C200； （3）C6 ÷ C8； （4）Cn + 1·Cn3．求证Cn + 1 = Cn
m
n ? 1
3
4
n
n ? 2
3
197
．
+ Cn ? 1 + Cn ? 1．
mm ? 1
4．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？
28 计数原理 第7章 （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？ 5．（1）空间有8个点，其中任何4点不共面，过每3个点作一个平面，一共
可以作多少个平面？
（2）空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面
体，一共可以作多少个四面体？
6．购买某种电脑福利彩票，若从1~35这35个数中选出7个不同的数与开奖
的7个数组合一致（顺序不限），则获一等奖，试计算购买一张彩票，中一等奖的概率．
7．某人决定把一笔遗产投资于8种股票和4种债券组成的有价证券．经纪人
向他推荐了看好的12种不同股票和7种债券．此人有多少种方式组成他的有价证券？
8．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在
第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？
9．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面向上的情况有多少种？ 10．在桥牌游戏中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即13
张牌）组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌？假设某人一年中每天都玩100盘桥牌，那么他能玩多少年而看不到与他手上相同的那副牌？
11．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件： （1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
思考·运用 12．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有一个空盒
的放法共有多少种？
13．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛． （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？ （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
14．一份试卷有10个题目，分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，
但每组至多选4题，问考生有几种选答方法？
15．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一
共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
16．某旅行团要从8个风景点中选两个风景点作为当天的旅游地，满足下列条
件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两个风景点至少选一个； （2）甲、乙两个风景点至多选一个；
（3）甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
29 选修系列2
A 北 C B （第18题）
17．某地有南北街道5条，东西街道6条（如图），一邮递员从该地的东北角
的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，为使所走路程最短，仅按向西或向南方向前进，则问有多少种不同的走法．
东 18．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗
队，其中
（1）某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？ （2）至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法？
分子．DNA也由称为碱基的化学成分组成．DNA看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A，C，G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现．两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T或者是C-G，不会出现其它的联系．因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．由氢键联系着的两个碱基称为碱基对？
再回答：一个典型的细菌基因是一段有着1 500个碱基对的DNA，
计算可能的细菌基因数目．
北 南 探究·拓展 19．（阅读题）先阅读：DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线状
30 计数原理 第7章 7.4 二项式定理
7．4．1 二项式定理
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我们已经知道：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ． 我们还可以算得：
(a + b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
连同n=0,1一起，将（a+b）n(n=0,1,2,3,4)的展开式的各二项式系数排成数表7-4-1，发现其与图7-3-1所示的“最短路径”问题的结果完全相同：
1
1 1
1 1 2 1
1 1
3 1 3 1
1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
图7-4-1
图7-4-2
● 这里是否存在内在联系？能由此得到(a + b)n 的展开式吗？
我们已经知道，最短路径问题的结果可以由组合数表示，(a + b)n 的展开式中的系数与组合数有关吗？
下面以(a + b)4为例，从其算法过程发现一般规律：
由
(a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
看出，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式的各项应有下面的形式（按a的指数降幂排列）：
a4，a3b，a2b2，ab3，b4．
那么上面各项在展开式中各出现多少次，也就是展开式中各项的系数是多少呢？
在(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)的四个括号中：
31 选修系列2 每个都不取b的情况有1种，即C4 种，所以a4的系数是C4； 恰有1个取b的情况有C4 种，所以a3b的系数是C4；
22
恰有2个取b的情况有C4 种，所以a2b2的系数是C4；
33
恰有3个取b的情况有C4 种，所以ab3的系数是C4；
44
4个都取b的情况有C4 种，所以b4的系数是C4． 因此，
01234
(a + b)4 = C4a4 + C4a3b + C4a2b2 + C4ab3 + C4b4， 于是，我们考虑一般情形： 由
(a + b)n = (a + b)(a + b)…(a + b)
n个(a + b)
1
1
00
可知，其展开式是从n个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和，这些乘积合并同类项后，共有n + 1项，即在(a + b)(a + b)…(a + b)的n个括号中：
00
每个都不取b的情况有1种，即Cn 种，所以第1项是Cnan；
11
恰有1个取b的情况有Cn 种，所以第2项是Cnan ? 1b；
22
恰有2个取b的情况有Cn 种，所以第3项是Cnan ? 2b2； ……
rr
恰有r个取b的情况有Cn 种，所以第r + 1项是Cnan ? rbr； ……
nn
n个括号中都取b的情况有Cn 种，所以第n + 1项是Cnbn． 因此，
二项展开式是按照字母a降幂排列，次数由n递减到0．
(a + b)n = Cnan +Cnan ? 1b + … + Cnan ? rbr + … + Cnbn（n ? N*）． 这个公式所表示的定理叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式（binomial expansion），它一共
r
有n + 1项，其中各项的系数Cn（r = 0，1，…，n）叫做二项式系数
r
（binomial coefficients），式中的Cnan ? rbr叫做二项展开式的通项，用Tr + 1表示，即通项为展开式的第r + 1项：
Tr + 1 = Cnan ? rbr．
通项不是第r项，而是第r + 1项，选择这一项作为通项，是由于它的结构简单，便于记忆与应用。
由于(a + b)n = (b + a)n，求展开式的所有项时，虽然两者所得结果相同，但对应项却是a，b互换，所以求通项时，不应交换a，b的位置。
r
01rn
32