第四章 向量组的线性相关性
1? 设v1?(1? 1? 0)T? v2?(0? 1? 1)T? v3?(3? 4? 0)T? 求v1?v2及3v1?2v2?v3?
解 v1?v2?(1? 1? 0)T?(0? 1? 1)T
?(1?0? 1?1? 0?1)T
?(1? 0? ?1)T?
3v1?2v2?v3?3(1? 1? 0)T ?2(0? 1? 1)T ?(3? 4? 0)T ?(3?1?2?0?3? 3?1?2?1?4? 3?0?2?1?0)T ?(0? 1? 2)T?
2? 设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)? 求a? 其中a1?(2? 5? 1? 3)T? a2?(10? 1? 5? 10)T? a3?(4? 1? ?1? 1)T? 解 由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得
a?1(3a1?2a2?5a3)
6 ?1[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T]
6 ?(1? 2? 3? 4)T? 3? 已知向量组
A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由
?0?1 (A, B)??2?3??1?0 ~ ?0?0?r30122301204??1r?1?24?~ ?0?1110??213??0031?24?32204? 1?6?15?7?2?8?17?9??031?24?1?6?15?7? 041?35?00000??031?6020041?24??1r??15?7?~0 5?1525??0?01?35???知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示? 由
?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0~~ B??111??01?1??0?213??01?1??0?????01002??1? 0?0??知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示?
4? 已知向量组
A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T?
B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T? 证明A组与B组等价? 证明 由
??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211??
?11?110??02211??00000???????知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价?
5? 已知R(a1? a2? a3)?2? R(a2? a3? a4)?3? 证明 (1) a1能由a2? a3线性表示? (2) a4不能由a1? a2? a3线性表示?
证明 (1)由R(a2? a3? a4)?3知a2? a3? a4线性无关? 故a2? a3也线性无关? 又由R(a1? a2? a3)?2知a1? a2? a3线性相关? 故a1能由a2? a3线性表示?
(2)假如a4能由a1? a2? a3线性表示? 则因为a1能由a2? a3线性表示? 故a4能由a2? a3线性表示? 从而a2? a3? a4线性相关? 矛盾? 因此a4不能由a1? a2? a3线性表示?
6? 判定下列向量组是线性相关还是线性无关? (1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T? (2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T?
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为
??121?r??121?r??121? A??314?~?077?~?011??
?101??022??000???????所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关? (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为
2?10 |B|?340?22?0?
002所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关?
7? 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由
a11 |A|?1a?1?a(a?1)(a?1)
1?1a知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关? 8? 设a1? a2线性无关? a1?b? a2?b线性相关? 求向量b用a1? a2线性表示的表示式?
解 因为a1?b? a2?b线性相关? 故存在不全为零的数?1? ?2使
?1(a1?b)??2(a2?b)?0?
????由此得 b??1a1?2a2??1a1?(1?1)a2?
?1??2?1??2?1??2?1??2设c???1? 则 ?1??2 b?ca1?(1?c)a2? c?R?
9? 设a1? a2线性相关? b1? b2也线性相关? 问a1?b1? a2?b2是否一定线性相关？试举例说明之? 解 不一定?
例如? 当a1?(1? 2)T, a2?(2? 4)T, b1?(?1? ?1)T, b2?(0? 0)T时? 有
a1?b1?(1? 2)T?b1?(0? 1)T, a2?b2?(2? 4)T?(0? 0)T?(2? 4)T? 而a1?b1? a2?b2的对应分量不成比例? 是线性无关的?
10? 举例说明下列各命题是错误的?
(1)若向量组a1? a2? ? ? ?? am是线性相关的? 则a1可由a2? ? ? ?? am线性表示?
解 设a1?e1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0)? a2?a3? ? ? ? ?am?0? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 但a1不能由a2? ? ? ?? am线性表示? (2)若有不全为0的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使
?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0
成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 解 有不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使
?1a1? ? ? ? ??mam ??1b1? ? ? ? ??mbm ?0?
原式可化为
?1(a1?b1)? ? ? ? ??m(am?bm)?0?
取a1?e1??b1? a2?e2??b2? ? ? ?? am?em??bm? 其中e1? e2? ? ? ?? em为单位坐标向量? 则上式成立? 而a1? a2? ? ? ?? am和b1? b2? ? ? ?? bm均线性无关?
(3)若只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式
?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0
才能成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性无关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性无关?