数?1? ?2? ? ? ?? ?m? 使
?1a1??2a2? ? ? ? ??mam?0?
而且?2? ?3?? ? ?? ?m不全为零? 这是因为? 如若不然? 则?1a1?0? 由a1?0知?1?0? 矛盾? 因此存在k(2?k?m)? 使
?k?0? ?k?1??k?2? ? ? ? ??m?0?
于是
?1a1??2a2? ? ? ? ??kak?0?
ak??(1/?k)(?1a1??2a2? ? ? ? ??k?1ak?1)?
即ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示?
19? 设向量组B? b1? ? ? ?? br能由向量组A? a1? ? ? ?? as线性表示为
(b1? ? ? ?? br)?(a1? ? ? ?? as)K? 其中K为s?r矩阵? 且A组线性无关? 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)?r? 证明 令B?(b1? ? ? ?? br)? A?(a1? ? ? ?? as)? 则有B?AK? 必要性? 设向量组B线性无关?
由向量组B线性无关及矩阵秩的性质? 有 r?R(B)?R(AK)?min{R(A)? R(K)}?R(K)? 及 R(K)?min{r? s}?r? 因此R(K)?r?
E? 充分性? 因为R(K)?r? 所以存在可逆矩阵C? 使KC???Or???为K的标准形? 于是
(b1? ? ? ?? br)C?( a1? ? ? ?? as)KC?(a1? ? ? ?? ar)?
因为C可逆? 所以R(b1? ? ? ?? br)?R(a1? ? ? ?? ar)?r? 从而b1? ? ? ?? br线性无关?
20? 设
??1? ?2??3? ? ? ? ??n??2??1 ??3? ? ? ? ??n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ???n123n?1证明向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价? 证明 将已知关系写成
?0?1(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?1?????1?101???1110???1???????????????1?1?1?? ????0??将上式记为B?AK? 因为
01|K|?1???1101???1110???1???????????????111?(?1)n?1(n?1)?0? ???0所以K可逆? 故有A?BK ?1? 由B?AK和A?BK ?1可知向量组?1?
?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n可相互线性表示? 因此向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价?
21? 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x?3Ax?A2x? 且向量组x? Ax? A2x线性无关?
(1)记P?(x? Ax? A2x)? 求3阶矩阵B? 使AP?PB? 解 因为
AP?A(x? Ax? A2x) ?(Ax? A2x? A3x) ?(Ax? A2x? 3Ax?A2x)
?000? ?(x, Ax, A2x)?103??
?01?1????000?所以B??103??
?01?1??? (2)求|A|?
解 由A3x?3Ax?A2x? 得A(3x?Ax?A2x)?0? 因为x? Ax? A2x线性无关? 故3x?Ax?A2x?0? 即方程Ax?0有非零解? 所以R(A)?3? |A|?0?
22? 求下列齐次线性方程组的基础解系?
??x1?8x2?10x3?2x4?0 (1)?2x1?4x2?5x3?x4?0?
??3x1?8x2?6x3?2x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有
0??1?8102?r?104 A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4??
?386?2??000?0????于是得
x1??4x3 ??x?(3/4)x?(1/4)x?
?234 取(x3? x4)T?(4? 0)T? 得(x1? x2)T?(?16? 3)T? 取(x3? x4)T?(0? 4)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 因此方程组的基础解系为
?1?(?16? 3? 4? 0)T? ?2?(0? 1? 0? 4)T?
??2x1?3x2?2x3?x4?0 (2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0?
??8x1?7x2?6x3?3x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有
?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19??
?876?3??0000?????于是得
x1??(2/19)x3?(1/19)x4 ??x??(14/19)x?(7/19)x?
?234 取(x3? x4)T?(19? 0)T? 得(x1? x2)T?(?2? 14)T? 取(x3? x4)T?(0? 19)T? 得(x1? x2)T?(1? 7)T? 因此方程组的基础解系为
?1?(?2? 14? 19? 0)T? ?2?(1? 7? 0? 19)T?
(3)nx1 ?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?xn?0. 解 原方程组即为
xn??nx1?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?
取x1?1? x2?x3? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??n?
取x2?1? x1?x3?x4? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??(n?1)??n?1? ? ? ? ?
取xn?1?1? x1?x2? ? ? ? ?xn?2?0? 得xn??2? 因此方程组的基础解系为 ?1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0? ?n)T? ?2?(0? 1? 0? ? ? ?? 0? ?n?1)T? ? ? ??
?n?1?(0? 0? 0? ? ? ?? 1? ?2)T?
2?213?, 求一个4?2矩阵B, 使AB?0, 且 23? 设A???9?528???R(B)?2.
解 显然B的两个列向量应是方程组AB?0的两个线性无关的解? 因为
2?213 ~ ?10?1/81/8?? A???9?528???01?5/8?11/8?????r所以与方程组AB?0同解方程组为
x1?(1/8)x3?(1/8)x4 ??x?(5/8)x?(11/8)x?
?234 取(x3? x4)T?(8? 0)T? 得(x1? x2)T?(1? 5)T? 取(x3? x4)T?(0? 8)T? 得(x1? x2)T?(?1? 11)T? 方程组AB?0的基础解系为
?1?(1? 5? 8? 0)T? ?2?(?1? 11? 0? 8)T?