(2)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一? (3)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 并求一般表示式?
1???1?2?1?r??1?2? 解 (a3, a2, a1, b)??112??~ ?0?11????1??
?4510?1??004???3?????? (1)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)? 此时向量b不能由向量组A线性表示?
(2)当???4时? R(A)?R(A? b)?3? 此时向量组a1? a2? a3线性无关? 而向量组a1? a2? a3? b线性相关? 故向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?
(3)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)?2? 此时向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 当???4? ??0时?
??1?2?41?r?10?21?(a3, a2, a1, b)??1120?~ ?013?1??
?4510?1??0000?????方程组(a3? a2? a1)x?b的解为
?x1??2??1??2c?1? ?x2??c??3????1????3c?1?? c?R?
?x??1??0??c???3??????因此 b?(2c?1)a3?(?3c?1)a2?ca1? 即 b? ca1?(?3c?1)a2?(2c?1)a3? c?R?
31? 设a?(a1? a2? a3)T? b?(b1? b2? b3)T? c?(c1? c2? c3)T? 证明三直线
l1? a1x?b1y?c1?0?
l2? a2x?b2y?c2?0? (ai2?bi2?0? i?1? 2? 3) l3? a3x?b3y?c3?0?
相交于一点的充分必要条件为? 向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?
证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
???a1x?b1y?c1?0?a1x?b1y??c1?a2x?b2y?c2?0? 即?a2x?b2y??c2 ???a3x?b3y?c3?0?a3x?b3y??c3有唯一解? 上述方程组可写为xa?yb??c? 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a? b唯一线性表示? 而c能由a? b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?
32? 设矩阵A?(a1? a2? a3? a4)? 其中a2? a3? a4线性无关? a1?2a2? a3? 向量b?a1?a2?a3?a4? 求方程Ax?b的通解? 解 由b?a1?a2?a3?a4知??(1? 1? 1? 1)T是方程Ax?b的一个解?
由a1?2a2? a3得a1?2a2?a3?0? 知??(1? ?2? 1? 0)T是Ax?0的一个解?
由a2? a3? a4线性无关知R(A)?3? 故方程Ax?b所对应的齐次
方程Ax?0的基础解系中含一个解向量? 因此??(1? ?2? 1? 0)T是方程Ax?0的基础解系? 方程Ax?b的通解为
x?c(1? ?2? 1? 0)T?(1? 1? 1? 1)T? c?R?
33? 设?*是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ?1? ?2? ? ? ??
?n?r ?是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明?
(1)?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? (2)?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r线性无关?
证明 (1)反证法, 假设?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 因为?1?
?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 而?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 所以?*可
由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表示? 且表示式是唯一的? 这说明?*也是齐次线性方程组的解? 矛盾?
(2)显然向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r与向量组?*?
?1? ?2? ? ? ?? ?n?r可以相互表示? 故这两个向量组等价? 而由(1)知
向量组?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 所以向量组?*? ?*??1?
?*??2? ? ? ?? ?*??n?r也线性无关?
34? 设?1? ?2? ? ? ?? ?s是非齐次线性方程组Ax?b的s个解? k1? k2? ? ? ?? ks为实数? 满足k1?k2? ? ? ? ?ks?1. 证明
x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s
也是它的解.
证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?s都是方程组Ax?b的解? 所以 A?i?b (i?1? 2? ? ? ?? s)?
从而 A(k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s)?k1A?1?k2A?2? ? ? ? ?ksA?s ?(k1?k2? ? ? ? ?ks)b?b? 因此x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s也是方程的解?
35? 设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1是它的n?r?1个线性无关的解? 试证它的任一解可表示为
x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1? (其中k1?k2? ? ? ? ?kn?r?1?1). 证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1均为Ax?b的解? 所以?1??2??1?
?2??3??1? ? ? ?? ?n?r?? n?r?1??1均为Ax?b的解?
用反证法证? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关?
设它们线性相关? 则存在不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?n?r? 使得
?1?1? ?2?2? ? ? ? ? ? n?r ? n?r?0?
即 ?1(?2??1)? ?2(?3??1)? ? ? ? ? ? n?r(?n?r?1??1)?0? 亦即 ?(?1??2? ? ? ? ??n?r)?1??1?2??2?3? ? ? ? ?? n?r?n?r?1?0? 由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1线性无关知
?(?1??2? ? ? ? ??n?r)??1??2? ? ? ? ??n?r?0?
矛盾? 因此?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r为Ax?b的一
个基础解系?
设x为Ax?b的任意解? 则x??1为Ax?0的解? 故x??1可由
?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表出? 设
x??1?k2?1?k3?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r
?k2(?2??1)?k3(?3??1)? ? ? ? ?kn?r?1(?n?r?1??1)? x??1(1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1)?k2?2?k3?3? ? ? ? ?k n?r?1?n?r?1? 令k1?1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1? 则k1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1?1? 于是 x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1?
36? 设
V1?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?0}? V2?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?1}? 问V1? V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间? 因为任取
??(a1? a2? ?????? an)T ?V1? ??(b1? b2? ?????? bn)T ?V1? ???R? 有 a1?a2? ???????an?0? b1?b2? ???????bn?0?
从而 (a1?b1)?(a2?b2)? ???????(an?bn) ?(a1?a2? ???????an)?(b1?b2? ???????bn)?0? ?a1??a2? ????????an??(a1?a2? ???????an)?0? 所以 ????(a1?b1? a2?b2? ?????? an?bn)T?V1? ???(?a1? ?a2? ?????? ?an)T ?V1? V2不是向量空间? 因为任取