?1?5 因此所求矩阵为B??8?0??1?11?? 0?8??
24? 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
?1?(0? 1? 2? 3)T ? ?2?(3? 2? 1? 0)T ?
解 显然原方程组的通解为
?x1??0??x1?3k23???x??1??2??x2?k1?2k22, 即?k?k?x?1?2?2?1??x?2k?k? (k1? k2?R)? ?3??3??0??x3?3k12???41?x4???消去k1? k2得
?2x1?3x2?x4?0? ?x?3x?2x?0?134此即所求的齐次线性方程组.
25? 设四元齐次线性方程组 x1?x2?0 I? ??x?x?0 ? II?
?24?x1?x2?x3?0? ?x?x?x?0?234求? (1)方程I与II的基础解系? (2) I与II的公共解? x1??x4 解 (1)由方程I得??x?x?
?24 取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 0)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? 1)T? 因此方程I的基础解系为
?1?(0? 0? 1? 0)T? ?2?(?1? 1? 0? 1)T?
x1??x4 由方程II得??x?x?x?
?234 取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? ?1)T? 因此方程II的基础解系为
?1?(0? 1? 1? 0)T? ?2?(?1? ?1? 0? 1)T? (2) I与II的公共解就是方程
?x1?x2?0?x?x?0 III? ?24
x1?x2?x3?0?x?x?x?0?234的解? 因为方程组III的系数矩阵 ?1?0 A??1?0?11?11001?10??1r??1? ~0 0??0?01???010001?0?1?? 1?2?00??所以与方程组III同解的方程组为
??x1??x4 ?x2?x4?
??x3?2x4 取x4?1? 得(x1? x2? x3)T?(?1? 1? 2)T? 方程组III的基础解系为 ??(?1? 1? 2? 1)T?
因此I与II的公共解为x?c(?1? 1? 2? 1)T? c?R?
26? 设n阶矩阵A满足A2?A? E为n阶单位矩阵, 证明
R(A)?R(A?E)?n?
证明 因为A(A?E)?A2?A?A?A?0? 所以R(A)?R(A?E)?n? 又R(A?E)?R(E?A)? 可知
R(A)?R(A?E)?R(A)?R(E?A)?R(A?E?A)?R(E)?n?
由此R(A)?R(A?E)?n?
27? 设A为n阶矩阵(n?2)? A*为A的伴随阵? 证明
n 当R(A)?n??R(A*)??1 当R(A)?n?1?
??0 当R(A)?n?2 证明 当R(A)?n时? |A|?0? 故有 |AA*|?||A|E|?|A|?0? |A*|?0? 所以R(A*)?n?
当R(A)?n?1时? |A|?0? 故有 AA*?|A|E?0?
即A*的列向量都是方程组Ax?0的解? 因为R(A)?n?1? 所以方程组Ax?0的基础解系中只含一个解向量? 即基础解系的秩为1? 因此R(A*)?1?
当R(A)?n?2时? A中每个元素的代数余子式都为0? 故A*?O? 从而R(A*)?0?
28? 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?
??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1?
??5x1?3x2?2x3?2x4?3 解 对增广矩阵进行初等行变换? 有
?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为
??x1??x3?8?x2? x3?13? ??x4? 2 当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? 与对应的齐次方程组同解的方程为
??x1??x3?x2? x3? ??x4?0 当x3?1时? 得对应的齐次方程组的基础解系??(?1? 1? 1? 0)T?
??x1?5x2?2x3?3x4?11 (2)?5x1?3x2?6x3?x4??1?
??2x1?4x2?2x3?x4??6 解 对增广矩阵进行初等行变换? 有
?1?52?311?r?109/7?1/21? B??536?1?1? ~ ?01?1/71/2?2??
?2421?6??000?00???? 与所给方程组同解的方程为
?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1?
?x?(1/7)x?(1/2)x?2?234 当x3?x4?0时? 得所给方程组的一个解
??(1? ?2? 0? 0)T?
与对应的齐次方程组同解的方程为
?x1??(9/7)x3?(1/2)x4? ?x?(1/7)x?(1/2)x?234 分别取(x3? x4)T?(1? 0)T? (0? 1)T? 得对应的齐次方程组的基础解系
?1?(?9? 1? 7? 0)T? ?2?(1? ?1? 0? 2)T?
29? 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3? 已知
?1? ?2? ?3是它的三个解向量? 且
?1?(2? 3? 4? 5)T? ?2??3?(1? 2? 3? 4)T?
求该方程组的通解?
解 由于方程组中未知数的个数是4? 系数矩阵的秩为3? 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量? 且由于
?1? ?2? ?3均为方程组的解? 由非齐次线性方程组解的结构性质
得
2?1?(?2??3)?(?1??2)?(?1??3)? (3? 4? 5? 6)T
为其基础解系向量? 故此方程组的通解?
x?k(3? 4? 5? 6)T?(2? 3? 4? 5)T? (k?R)?
30? 设有向量组A? a1?(?? 2? 10)T? a2?(?2? 1? 5)T? a3?(?1? 1? 4)T? 及b?(1? ?? ?1)T? 问?? ?为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示?