解 由于只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式
由?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm ?0
成立? 所以只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式
?1(a1?b1)??2(a2?b2)? ? ? ? ??m(am?bm)?0
成立? 因此a1?b1? a2?b2? ? ? ?? am?bm线性无关?
取a1?a2? ? ? ? ?am?0? 取b1? ? ? ?? bm为线性无关组? 则它们满足以上条件? 但a1? a2? ? ? ?? am线性相关?
(4)若a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 则有不全为0的数? ?1? ?2? ? ? ?? ?m使
?1a1? ? ? ? ??mam?0? ?1b1? ? ? ? ??mbm?0
同时成立?
解 a1?(1? 0)T? a2?(2? 0)T? b1?(0? 3)T? b2?(0? 4)T?
?1a1??2a2 ?0??1??2?2? ?1b1??2b2 ?0??1??(3/4)?2?
??1??2?0? 与题设矛盾?
11? 设b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a4? b4?a4?a1? 证明向量组b1? b2? b3? b4线性相关? 证明 由已知条件得
a1?b1?a2? a2?b2?a3? a3?b3?a4? a4?b4?a1? 于是 a1 ?b1?b2?a3 ?b1?b2?b3?a4
?b1?b2?b3?b4?a1? 从而 b1?b2?b3?b4?0?
这说明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?
12? 设b1?a1? b2?a1?a2? ? ? ?? br ?a1?a2? ? ? ? ?ar? 且向量组a1? a2? ? ? ? ? ar线性无关? 证明向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关? 证明 已知的r个等式可以写成
?1?0(b1, b2, ? ? ? , br)?(a1, a2, ? ? ? , ar)?????0?11???0????????????1?1?? ????1??上式记为B?AK? 因为|K|?1?0? K可逆? 所以R(B)?R(A)?r? 从而向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关?
13? 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?
(1)a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T? 解 由
?19?2??19?2??19?2??2100?4?r?0820?r?010?~~ (a1, a2, a3)???
?1102??0190??000??44?8??0?320??000???????知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组?
(2)a1T?(1? 2? 1? 3)? a2T?(4? ?1? ?5? ?6)? a3T?(1? ?3? ?4? ?7)?
解 由
?1?2(a1, a2, a3)??1?3?41??141??1r?r??1?3?~0?9?5?~0?5?4??0?9?5??0????6?7???0?18?10??041??9?5?? 00?00??知R(a1T? a2T? a3T)?R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1T与a2T的分量不成比例? 故a1T? a2T线性无关? 所以a1T? a2T是一个最大无关组?
14? 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组? ?25?75 (1)?75?25?
319494321753542043?132?? 134?48?? 解 因为
?25?75?75?25??1?0 (2)?2?1?319494321753542043?r2?3r1?25132?r3?3r1?0?0134?r~4?r1?048???1??1?? 3??1??311712131343??25r?r3?4~3?05?r3?r2?0?05???311712010043?3?? 3?0??所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
1201213025?14 解 因为
?1?0?2?1?1201213025?141??1r?2r?1?3~1?03?r4?r1?0?0?1???12?2021?1?225?521??1r?r?1?3~2?01?r3?r4?0?0?2???120021?2025201??1?? ?2?0??所以第1、2、3列构成一个最大无关组?
15? 设向量组
(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T
的秩为2? 求a? b?
解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T? 因为
3?r?1113??12a2?r?111(a3, a4, a1, a2)??233b?~?01a?1?1?~?01a?1?1??
?1113??011b?6??002?ab?5???????而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5?
16? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量? 已知n维单位坐标向量e1? e2?? ? ?? en能由它们线性表示? 证明a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 证法一 记A?(a1? a2? ? ? ?? an)? E?(e1? e2?? ? ?? en)? 由已知条件知? 存在矩阵K? 使
E?AK?
两边取行列式? 得
|E|?|A||K|?
可见|A|?0? 所以R(A)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?
证法二 因为e1? e2?? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 所以
R(e1? e2?? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?
而R(e1? e2?? ? ?? en)?n? R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?
17? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是? 任一n维向量都可由它们线性表示? 证明 必要性? 设a为任一n维向量? 因为a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 而a1? a2? ? ? ?? an? a是n?1个n维向量? 是线性相关的? 所以a能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 且表示式是唯一的? 充分性? 已知任一n维向量都可由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 故单位坐标向量组e1? e2? ? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 于是有
n?R(e1? e2? ? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?n?
即R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以a1? a2? ? ? ?? an线性无关?
18? 设向量组a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 且a1?0? 证明存在某个向量ak (2?k?m)? 使ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示? 证明 因为a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 所以存在不全为零的