2001一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、limx?13?x?1?x=（ ）． 2x?x?22、曲线e2x?y?cos(xy)?e?1在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、
??2?2?(x3?sin2x)cos2xdx=（ ）．
4、微分方程y?arcsinx?y1?x2=0的特解为：（ ）． ?1满足y(12)?a11??x1??1???????5、方程组?1a1??x2???1?有无穷多解，则a=（ ）．
?11a??x???2????3???二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、f(x)???1?0x?1x?1则f{f[f(x)]}=
?1 （ A ） 0；（B）1；（C）??0x?1?0； （D）?x?1?1nx?1． x?1n2、x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比
ex?1高阶的无穷小，则正整数n等于
（ A ）1；（B）2；（C）3；（D）4． 3、曲线y?(x?1)(x?3)的拐点的个数为 （ A ）０；（B）１；（C）２；（D）３．
4、函数f(x)在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，f?(x) 严格单调减小，且 f(1)=f?(1)=1，则
（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f(x)?x； （B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f(x)?x；
（C）在（1-δ，1）内有f(x)?x，在（1，1+δ）内有f(x)?x； （D）在（1-δ，1）内有f(x)?x，在（1，1+δ）内有f(x)?x． 5、（同数学一的二1）
222
三、（本题满分6分）求
?(2xdx2?1)1?x2．
xsintsint?)sinx的表达式，并指出函数f(x)的间断点四、（本题满分7分）求函数f(x)=lim(t?xsinx及其类型．
五、（本题满分7分）设???(x)是抛物线y?（x?1）处的曲x上任意一点M（x,y）
d2?d?2?()率半径，s?s(x)是该抛物线上介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算3?dsds2的值（曲率K＝
y??(1?y?)232）．
六、（本题满分7分）f(x)在[0，+?）可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)． 若
?f(x)0g(t)dt?x2ex，求f(x)．
x七、（本题满分7分）设函数f(x)，g(x)满足f?(x)=g(x)， g?(x)=2e－f(x) 且f(0)=0，g(0)=2，求
??0[g(x)f(x)?]dx 1?x(1?x)2八、（本题满分9分）设L为一平面曲线，其上任意点P（x,y）（x?0）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y轴上的截距，且L过点（0.5，0）．
1、 求L的方程
2、 求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的
面积最小．
九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比
比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r0 的雪堆
在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）f(x)在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f(0)=0
1、 写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； 2、 证明在[-a，a]上至少存在一点?，使af??(?)?33?a?af(x)dx
?100??011?????十一、（本题满分6分）已知A??110?,B??101?且满足
?111??110?????
AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．
十二、（本题满分6分）设?1,?2,?3,?4为线性方程组AX=O的一个基础解系，
?1??1?t?2,?2??2?t?3,?3??3?t?4,?4??4?t?1，其中t为实常数
试问t满足什么条件时?1,?2,?3,?4也为AX=O的一个基础解系．
2002
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1?e??arcsin2xf(x)??2x??aetanx1．设函数
x?0在x?0处连续，则a?（ ）． x?02．位于曲线y?xe?x（0?x???）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）． 3
．
yy???y?2?0满足初始条件
y(0)?1,y?(0)?12的特解是
（ ）． 4
1?2?n?lim[1?cos?1?cos???1?cos]n??nnnn=
（ ）．
?0?2?2???2?2?的非零特征值是（ ）5．矩阵?2．
??2?22???二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
2１．函数f(u)可导，y?f(x)当自变量x在x??1处取得增量?x??0.1时，相应的函
数增量?y的线性主部为０．１，则f?(1)＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)
?x0f(t2)dt； (B)
x?x0f2(t)dt；
x0 (C)
?t[f(t)?f(?t)]dt； (D) ?t[f(t)?f(?t)]dt．
03x３．设y?f(x)是二阶常系数微分方程y???py??qy?e满足初始条件y(0)?y?(0)?0的
ln(1?x2) 特解，则极限lim
x?0y(x) (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数f(x)在R上有界且可导，则
(A)当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x???x???? （Ｂ）当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0；
x???x??? (C) 当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x?0?x?0? (D) 当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0．
x?0?x?0?5．设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由
?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k必有
（Ａ）?1,?2,?3,k?1??2线性无关；(B) （Ｃ）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关； (D)
?1,?2,?3,k?1??2线性相关；
?1,?2,?3,?1?k?2线性相关．
三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为r?1?cos?，求该曲线对应于???处的6切线与法线的直角坐标方程．
32?2x??2x四、（本题满分７分）设函数y?f(x)??xex??(ex?1)2?1?x?00?x?1，
求函数F(x)??x?1f(t)dt的表达式．
x????五、（本题满分７分）已知函数f(x)在R上可导，f(x)?0，limf(x)?1，且满足
1f(x?hx)1hlim()?ex，求f(x)． h?0f(x)六、（本题满分７分）求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x)，使得由曲线
y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最
小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h应为多少？ 八、（本题满分８分）
设0?xn?3，xn?1?． xn(3?xn)（n＝１，２，３，…）
证明：数列｛xn｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设b?a?0，证明不等式
2alnb?lna1． ??b?aa2?b2ab十、（本题满分8分）设函数f(x)在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且
f(0)f?(0)f??(0)?0．证明：存在惟一的一组实数a,b,c，使得当h?0时，
af(h)?bf(2h)?cf(3h)?f(0)?o(h2)．
十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足2AB?B?4E．
⑴证明：矩阵A?2E可逆；
?1?1?20???20?，求矩阵Ａ． ⑵若B??1?002???十二、（本题满分６分）已知四阶方阵A?(?1,?2,?3,?4)，
?1,?2,?3,?4均为四维列向
量，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3．若???1??2??3??4，求线性方程组
Ax??的通解．
2003年考研数学（二）真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） y?2的麦克劳林公式中x项的系数是 ——.
（4） 设曲线的极坐标方程为??e(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的
a?xn2144