2006年数学二
二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a?
??a, x?0（3）广义积分
???0xdx?.
(1?x2)2y(1?x)的通解是 xdydxx?0（4） 微分方程y??y（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则 ?
（6）设矩阵A?? B? . ?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12?二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数 （9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
x1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. [ ]
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
[ ]
?2x
（10）函数y?C1e?C2e
?xex满足的一个微分方程是
x（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
x
（B）y???y??2y?3e.
（D）y???y??2y?3e. [ ]
xx
?（11）设f(x,y)为连续函数，则
221?x2?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
01（Ａ）
22?0dx?1?y2xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?0dy?yf(x,y)dx. (D)
?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ ] （13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (C) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. [ ] （14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2
?110???列得C，记P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得
TT?1?1
ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，
其中o(x3)是当x?0时比x高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）
3arcsinexdx. 求 ?xe（17）（本题满分10分）
设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分（18）（本题满分12分）
设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?) （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；
n???22?1?xydxdy. 22??1?x?yD1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n???xn?（19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2满足等式
??2z?2z??0. ?x2?y2（I）验证f??(u)?f?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式. （21）（本题满分12分）
?x?t2?1,已知曲线L的方程?(t?0) 2?y?4t?t（I）讨论L的凹凸性；
（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.
TT2007年考研数学二试题
一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）当x?0时，与x等价的无穷小量是（ ）
A、1?ex? B、ln1x1?x C、1?x?1 D、1?cosx
1?x（2）函数f(x)?(e?e)tantx(e?e)1x在[－π，π]上的第一类间断点是x=( )
A、0 B、1 C、??2 D、
? 2（3）如图，连续函数y=f(x)在区间[―3，―2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[―2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F（x）=则下列结论正确的是（ ）
?x0f(t)dt.
35F(?2) B、F(3)?F(2) 4435C、F(?3)?F(2) D、F(?3)??F(?2)
44A、F(3)??
（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（ ）
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(x)=0 B、若lim存在，则f(x)=0
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)//C、若lim存在，则f（0）存在 D、若lim存在，则f（0）存在
x?0x?0xx1x（5）曲线y??ln(1?e)，渐近线的条数为（ ）
xA、若limA、0 B、1 C、2 D、3
（6）设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f（x）>0，令un=f(n) (n=1，2，…)，
则下列结论正确的是（ ）
A、若u1>u2，则{un}必收敛 B、若u1>u2，则{un}必发散 C、若u1 A、 (x,y)?(0,0)//lim[f(x,y)?f(0,0)]?0 B、limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0，且lim?0 y?0xyC、 (x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0 /D、lim[x?0f/x(x,0)?f/x(0,0)]?0，且lim[f(0,y)?y?01yf/y(0,0)]?0 （8）设函数f(x,y)连续，则二次积分 1??dx?2?sinxf(x,y)dy等于（ ） 1A、 ?01dy????arcsiny?f(x,y)dx B、?dy?010???arcsiny?f(x,y)dx C、 ?dy??f(x,y)dx D、?dy??f(x,y)dx 022（9）设向量组α1，α 2，α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）