一段弧与极轴所围成的图形的面积为
?1?11???TT（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11?1，则
????1?11???T?= .
（6） 设三阶方阵A,B满足AB?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若
2?101??，则
A??020B? .
?????201??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]
n??n??3n?11?xndx, 则极限limnan等于 （2）设an??n?1xn??20 (A) (1?e)?1. (B) (1?e)?1.
(C) (1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ B ]
（3）已知y?3?1232323?12nxyxx是微分方程y????()的解，则?()的表达式为 lnxxyyy2y2 （A） ?2. (B) 2.
xxx2x2 (C) ?2. (D) 2. [ ]
yy（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x
?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则
0xtanx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]
三 、（本题满分10分）
??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 设函数 f(x)???eax?x2?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte(t?1)所确定，求2 设函数y=y(x)由参数方程?y??dudx?1u?五 、（本题满分9分） 计算不定积分
x?9.
?xearctanx(1?x)232dx.
六 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微
dydy2分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）
讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数. 八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(交点为Q，且线段PQ被x轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；
3的解. 221,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，
液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.
(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十 一、（本题满分10分）
23?220???若矩阵A?82a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使????006??P?1AP??.
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值
3??y?t?3t?1范围为____..
（3）
?1??dxxx?12?_____..
?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y6?的特解为_______. x?15?210??????（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA?2BA?E, 其中A为A的伴随矩
?001???阵, E是单位矩阵, 则B?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???2x20tantdt, ???x0sint3dt排
列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）?,?,?. （B）?,?,?.
（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则
（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.
??
??
（9）limlnn(1?)(1?)?(1?)等于
n??1n22n2nn2（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.
1222?1ln(1?x)dx. （D）?1ln2(1?x)dx ??
（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得
（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).
（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为
（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.
（D）y??ax2?bx?c?Acosx （12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则
11?x2??
??
?22???f(xy)dxdy等于
D（A）
??1dx??1?x?0dy?0?22f(xy)dy. f(xy)dx.
（B）2（C）（D）
2y?y2?0d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.
f(r2sin?cos?)rdr
?0?d????
（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为