A、α1－αC、α1－2α
2，α，α
2－α
3，α3－α1 B、α1＋α
2，α
2＋α
3，α3＋α1 3，α3＋2α1
22－2α
3，α3－2α1 D、α1＋2α
2，α
2＋2α
?2?1?1??100?????（10）设矩阵A=?12?1，B=010，则A与B（ ） ???????000????1?12?? A、合同，且相似 B、合同，但不相似
C、不合同，但相似 D、既不合同，也不相似
二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分. （11）limarctanx?sinx=
x?0x3（12）曲线{x?cost?cos2t,y?1?sint上对应于t??的点处的法线斜率为 4（13）设函数y?1(n)，则y(0)= 2x?3（14）二阶常系数非齐次线性微分方程y//?4y/?3y?2e2x的通解为y= （15）设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,)，则xyxxy?z?z?y= ?x?y?0?0（16）设矩阵A=??0??0
100001000?0??，则A3的秩为 1??0?三、解答题：17~24小题，共86分. （17）（本题满分10分） 设f（x）是区间[0，
π]上的单调，可导函数，且满足 4f(x)xcost?sint?1f(t)dt??0?0tsint?costdt
其中f
?1是f的反函数，求f（x）.
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x?＋?)下方、x轴上方的无界区域.
(Ⅰ)当区域D绕x轴旋转一周所称旋转体的体积V（a）； (Ⅱ)当a为何值时，V（a）最小？并求出此最小值. （19）本题满分10分）
求微分方程y//(x?y/)?y/满足初始条件y(1)?y/(1)?1的特解. （20）（本题满分11分）
已知函数f(u)具有二阶导数，且f/(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确定.设
2dzd2zz?f(lny?sinx)，求|x?0，2|x?0.
dxdx（21）（本题满分11分）
设函数f（x），g（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）
=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a,b），使得f//(ξ)?g//(ξ). （22）（本题满分11分） 设二元函数
x2,x?y?1f(x,y)?{1x2?y2计算二重积分
D,1?x?y?2
??f(x,y)d?，其中D?{(x,y)|x?y?2}.
x1?x2?x3?0{x1?2x2?ax3?0 ① x1?4x2?a2x3?0（23）（本题满分11分） 设线性方程组
与方程
x1?2x2?x3?a?1 ②
有公共解，求a的值及所有公共解. （24）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特征值λλ
1的一个特征向量.记
51=1，λ
32=2，λ
3－2，α1=（1，－1，1）
T是A的属于
B=A－4 A+E，其中E为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一
x?x32（1）函数f(x)?与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则（）
sinnx
（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个
（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则（） （A）a?1,b??11 （B）a?1,b? 66（C）a??1,b??11 （D）a??1,b? 66（3）设函数z?f(x,y)的全微分为dz?xdx?ydy，则点（0，0）（） （A）不是f(x,y)的连续点 （C）是f(x,y)的极大值点 （4）设函数f(x,y)连续，则（A）（C）
2（B）不是f(x,y)的极值点 （D）是f(x,y)的极小值点
2?dx?1xf(x,y)dy??dy?124?yyf(x,y)dx=（）
?dx?124?y14?yf(x,y)dy f(x,y)dx
（B）（D）
?dx?124?xxf(x,y)dy
?21dx?1?21dx?f(x,y)dx
y2（5）若f??(x)不变号，且曲线y?f(x)在点（1，1）的曲率圆为x2?y2?2，则f(x)在区间（1，2）内（）
（A）有极值点，无零点 （C）有极值点，有零点
（B）无极值点，有零点 （D）无极值点，无零点
（6）设函数y?f(x)在区间[-1,3]上的图形为
则函数F(x)?
?x0f(t)dt为（）
（7）设Ａ、B均为2阶矩阵，A?,B?分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩
阵??0?BA??的伴随矩阵为（） 0??03B?? （B）???0??3A?02B?? （C）???0??2B?03A?? （D）???0??3B2A??? 0??0（A）???2A?1???0???0???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAＰ＝?0???1???0?，若
?0???0???2???P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QTAQ为（）
?2???1???0??1???1???0??2???0???0??1???0???0?????????（Ａ）?1?????????? （Ｂ）?1???2???0? （Ｃ）?0???1?????? （Ｄ）?0???2???0?
????????????0??0?????????????????0???0???2?????????二、填空题：
?x?1?te?u2du??0（9）曲线?在（0，0）处的切线方程为____________
22??y?tln(2?t)（10）已知
???e??k|x|dx?1，则k=____________
（11）limn??0?e1?xsinnxdx=___________
ydy2（12）设y?y(x)是方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2|x?0=____________
dx（13）函数y?x2x在区间(0,1]上的最小值为_________
?2???0???0???（14）设?,?为3维列向量，?T为?的转置，若?T相似于?0???0???0?，则
?0???0???0????T?=___________
三、
（15）（本题满分9分）求极限lim(1?cosx)[x?ln(1?tanx)]
x?0sin4x（16）（本题满分10分）计算不定积分ln(1??1?x)dx(x?0) x（17）（本题满分10分）设z?f(x?y,x?y,xy)，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?2z ?x?y（18）（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x?0)，满足微分方程xy???y??2?0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分
??(x?y)dxdy，其中
DD?{(x,y)|(x?1)2?(y?1)2?2,y?x}
（20）（本题满分12分）设y=y(x)是区间(?,??)内过点(??2,?2)的光滑曲线，当
???x?0时，曲线上任一点处的发现都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足
y???y?x?0。求y(x)的表达式。
（21）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）可导，则存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)。（II）证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,?)(??0)内可导，且limf?(x)?A则f??(0)
x?0?
存在，且f??(0)?A。
?1?1?1???1?????1?,?1????1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????（I）求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3；
（II）对（I）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
222（23）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?ax1?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3 22（I）求二次型f的矩阵的所有特征值；（II）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 ?y2