?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.
?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?.
?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有
（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
??
??
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3??????（16）（本题满分10分）
设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导. （17）（本题满分11分） 设f(x)??xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.
（18）（本题满分12分）
ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).
(Ⅰ)求
S(t)的值; V(t)S(t).
t???F(t)(Ⅱ)计算极限lim（19）（本题满分12分）
2设e?a?b?e, 证明lnb?lna?224(b?a). 2e（20）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为
700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg表示千克,km/h表示千米/小时. （21）（本题满分10分）
?z?z?2z设z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求. ,,?x?y?x?y22xy（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
（23）（本题满分9分）
?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角
?1a5???化.
2005年数学二
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)x，则dyx?? = .
（2） 曲线y?1(1?x)x232的斜渐近线方程为.
（3）
?(2?x0xdx2)1?x?
1的解为 9（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
\M?N\表示（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M的充分必要条件是N”，
则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x
y?ln(1?t)?轴交点的横坐标是
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A)
22（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b
为常数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
(A) ab?. (B)
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，
? 具有一阶导数，则必有
?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2.
?x?y?x2?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. [ ] ?2. (D)
?x?y?x?x?y?y（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，
A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
**（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分
别为A,B的伴随矩阵，则
(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.
(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
********?设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分） 如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增2函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx
所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
?(x032?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分） 计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
但向量组?1,?2,?3不能由向量?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，组?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.