v2?68098754?8.105?6.304km?s?1
绕地球运行的周期： ??
1.49 在卫星绕太阳的椭圆轨道中，如令a?r?aecosE,2?ak32?2??(7781.5?10)19.94?106332?6836.4s?114min
?2??dT?T，式中?为周
期，a为半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：
T?E?esinE 解：能量方程为：
12??r??)?m(r222mkr22??mk2a2(1)
对椭圆轨道： p?a(1?e)?hk22h?kp
(2)由动量矩守恒：r2???h?kp?ka(1?e2)（1）（2）两式联立，消去??：
?? r2
ka(1?e)rkar22222?2kr2?k2a?k2(2a?r)ar
?? r2[ae?(a?r)]
2223行星在椭圆轨道中运动，其周期为： ??4?a222?ak2，代入上式得：
?? r2?r22[ae?(a?r)]
222
drdt???r2?a?rae?(a?e)222
将a?r?aecosE，代入上式得：
drdt?2?aaesinE?r
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?2??dt??raesinE2dr
r?a(1?ecosE)代入上式得：
T?2?dr?aesinEdE??dt??(1?ecosmcr3E)dE?E?esinE
1.50 质量为m的质点在有心斥力场
中运动，式中r为质点到力心o的距离，c
为常数。当质点离o很远时，质点的速度为v?，而其渐近线与o的垂直距离则为?（瞄准距离），试求质点与o的最近距离a 。
解：由题意知，势能函数为： V???Fdr???
122rmcr3?dr?mc2r2
质点运动过程中，能量守恒：
mv?mc2r2?E
?E??12mv?2r??12mv2v?v??mc2r212mv?
2所以： （1）
即：
v?2cr2?v?2
当r?a时，上式变为： v2?ca2?v?2 （2）
质点受有心力作用，动量矩守恒：
av??v? （3） （2）（3）两式联立得： a?(?2?cv2?1)2
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