(7)?(8)?2: ?2mg?T?2mga2mga(x3?x2)?2T?0(x3?x2) 134g3a
3T?2mg? ?
T?2mg(1?cost)
1.25滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W的物体，当滑轮以匀速转动时，物体以匀速v0下降，如将滑轮突然停止，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受W的作用时静伸长量为?0。
解：以弹簧原长处为弹性势能零点，以弹簧平衡位置（伸长?0时）为坐标原点O建立坐标Ox，且以O点 为重力势能零点，如图所示。由机械能守恒得：
1W2gv0?212k?0?212v0
k??0?x??Wx2 ⑴
T 弹簧处于平衡位置时，W?k?。代入⑴式并化简得：
1W2gv0?2?0 O 12kx2
?0gW x
?x??v0Wkg??v0
x??v0?0g 不是题目所求，舍去。
?弹簧的最大伸长量为：
?max??0?v0?0g
且最大张力为：
Tmax?k?maxW???0?v0??0????W?1???v0?0?? g?????0g?? 26
1.26一弹性绳上端固定，下端悬有m及m?两质点。设a为绳的固有长度，b为加m后的伸长，c为加m?后的伸长。今将m?任其脱离而下坠，试证质点m在任一瞬时离上端O的距离为：
a?b?ccosgbt
证：研究对象为质点m，其受力分析如图所示。
设坐标原点O1在?a?b?处，向下为正，建立坐标轴O1x。设绳的弹性系数为k，质点平衡时，kb?mg 则：k?微分方程为：
??mg?k?b?x???kx m?x???xkmx?0
mgb， 质点运动
a T O b O1 c mg 上式为简谐振动方程，其解为：
?x?Acos??t??0??Acos??????Ax?sin??b?gx?cx ?t??0??b?g
?t??0??b?g??0x将初始条件：t?0代入得：
A?c?0?0
gb?x?ccost
故任一时刻m离上端的距离为：
a?b?ccosgbt
证毕。
1.27一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下，问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。
解：以质点为研究对象，受力分析如图所示。
设质点m滑至与竖直线夹角为?处离开圆柱面，此时N?0，则质点的法线方程为：
27
mv2r?mgcos?(1)
?O mgN
质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒
mgr?12mv2v
?mgrcos??1(2)
⑴、⑵两式联立得：??cos
23
1.28 重为W的小球不受摩擦而沿半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的，如小球自长轴的端点开始运动时，其初速为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
解：小球受力分析如图所示，到达最低点时，法向方程为： mv2??N?mg(1)
由机械能守恒得： mgb?椭圆方程：
xa2212mv2(2)
?yb22?1
2y??dydx??a2bx1?xa22y???dydx2??2ba(1?xa22
)32曲率半径：
??(1?y?)y??232?(a4?ax224?bx)2232?x?0a2abb
将曲率半径?和v2代入（1）式得：
N?mg(1?2ba22)
到达最低点时对椭圆的压力为：
P?N?mg(1?2ba22)
1.29 一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑，试证在任何一点的压
28
力为2mgcos?，式中?为水平线和质点运动方向间的夹角，已知圆滚线方程为
x?a(2??sin2?),y??a(1?cos2?).
解：质点受力分析如图所示，在自然坐标系中，质点的法向运动微分方程为：
m由机械能守恒得：
12mv2v2??N?mgcos?(1)
?(?mgy)?0
(2) v2??2gy由圆滚线方程得： 曲率半径为：
??dsd??(dxd?)?(2
dxd??2a(1?cos2?)dyd??2asin2?
dyd?)2?4acos?(3)
将（2）（3）代入（1）得：
N?mv2??mgcos?
2a(1?cos2?)4acos? ?mg(co?s?在任何一点的压力为：
2y?)?mg(co?s?)?2mgcos?
P?N?2mgcos?
1.30 上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数?应满足下式：
?2e???1 试证明之。
证：受力分析如图所示，质点运动微分方程为：
29
??m???m??dvdtv2?mgsin???N?N?mgcos?(1)
(2)?（1）（2）两式消去N得：
dvdt??v2??g(?sin???cos?)(3) 将 v?dsdt??dsd?dv2d?v??v?g(?cos??sin?)dsds2ds??d??4acos?d?，代入（3）式：
vdv??vd??g(?cos??sin?)4acos??d?上式两边乘因子：e?2?? 得：
d(ve2?2??)?2g(?cos??sin?cos?)4ae2?2??d?
?8?agcos2?e?2??d??4agsin2?e?2??d?
上式两边积分：??
??0?2???0;v?0?v?0：
ve2?2??v?0???v?0?8?ag[2e?3??cos?(?2?cos??2sin?)4(1??)e?3????0????224(1??)?e?3??d?]
?4ag[(?3?sin2??2cos2?)4(1??)]??0???2 0?8?ag(?12(?2?22?1)?1?e4?(????2?1))?4ag(?1?e2(?2????1))
0??2?ag(?1?e?????122)?2ag(1?e2?????1)
0??2ag(2??2e2?????1)
即： ?2?e????0
故： ?2e???1 证毕。
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