??x?z??y?x??[(F)?(F)]i?[(F)?(F)]j?[(F)?(F)]k?yr?zr?zr?xr?xr?yy?z?y??z?y?F?r?F?r(??F)x?(F)?(F)?z()?y()?yr?zr?rr?y?rr?z2222
?r?x?y?z?r?x?xr?r?y?yr?r?z?zr
??(??F)x?0
?(??F)z?0同理：
??(??F)y?0???F?0
即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。
1.17 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？ 答：平方反比引力： F(r)?? 势能为：
??V???F?dr???F(r)dr?GMmr2
?r?GMmr2dr??GMmr
势能曲线形状如图所示。
1.18 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？
答：评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。
1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？
答：卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反，故卢瑟福公式也能使用。
6
第一章 习题
1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1，而通过下一等距离s的时间为t2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为：
证：设初速度为v0，加速度为：-a 通过第一段距离s： s?v0t1?12at122s(t2?t1)t1t2(t1?t2)
(1)12
2通过2s距离： 2s?v0(t1?t2)?a(t1?t2)(2)
（1）（2）两式联立，消去v0得：[(1)?(t1?t2)?(2)?t1]
s(t2?t1)?12at1t2(t1?t2)
?a?2s(t2?t1)t1t2(t1?t2)
证毕。
1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？
y 解：以正午为计时零点，设t时两船相距最近，其最近距离为S。设东向船为A，北向船为B，以
(o,yB) 灯塔为坐标原点O，建立坐标系O—xy，如图所示。B 在t时刻，两船位置分别为：
A?xA,0? B?0,yB?
v?15千米/小时S
O 2(xA,o) A x xA?vt yB?v?t?1.5? S?xA?yB22?vt??t?1.5?
2 7
dsdt?v2t?2?t?1.5?2t??t?1.5?22?0
则:
2t?2?t?1.5??0
2?t?0.75小时 （即午后45分钟）
将t值代入S表达式得：
Smin?150.75??0.75?1.5??15.9（千米）
22答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。
1.3 曲柄OA?r，以匀角速?绕定点O转动，此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。设AC?CB?a解：如图所示建立坐标系0——xy，C点的坐标为：
??acos??x?rcos???y?asin(1)(2)?AOB???ABO??。
在三角形AOB中，
rsin??2asin?(3)
2由（1）（2）两式消去?得： a2?y2?(x?rcos?)
??即： x?rcosa?y22(4) (5)由（2）（3）两式消去?得： 2y?rsin?
由（4）（5）两式消去?得： r2?4y2?(x?a2?y2)2 上式化简得轨道方程为：
4x2(a2?y2)?(x2?3y2?a2?r2)2 对（1）（2）两式取微商得：
?x?sin???r??sin??a????cos??a???y(6)(7)
?cos对（3）式取微商得： r??cos??2a??r??cos?2acos?
(8)
??? 8
将（8）代入（6）（7）得：
?r??sin???x??r?sin????2co?1??y?r??cos??2?cos?s?
????C点的速度为
v??2?y?2?xr??sin?cos?212?(r?sin??)?(r??cos?)2cos?22
?
r?2cos?4sin?cos?sin?(??)?cos?
1.4 细杆OL绕O点以匀角速?转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。
解：如图建立直角坐标系O—xy，小环在任意时刻的位矢为：
r?OC?xi?yj?dtg?i?dj
drdt?d????sec?i?2y L C ω B
v?x?dd22?i
A 式中用到：
sec??21cos?2?x?dd222d
O 2θ x
? 小环的速度的量值为：v?x?dd2?
a?dvdt?ddt?d??sec222?i?x???tg???d??
?2d?sec??tg?i ?2?x2x?dd2222i
2?小环的加速度的量值为：a?2?xx?dd22
9
1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： a?c(1?sin?t2T)
式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。
解： 升降机作直线加速运动，则：
两边积分：
dvdt?c(1?sin?t2T)
?v0dv??t0c(1?sin?t2T)dt
??v?c[t?v?dsdt2T?(cos2T?t2T?1)]
?c[t??(cos?t2T?1)]
两边积分：
?ds?0s?2t0c[t?2T?2T(cos?t2T?1)]dt
?s?c[t2?2T?(?sin?t2T?t)]
1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为?r及??，式中?、?是常数，试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：
ar??r?2??r22
???a????????
r?????r 证：由已知：vr?r沿位矢方向
v??r????? 垂直位矢方向
则：v??ri???j
i、j为径向、横向单位矢量
dtdtdidj?i??r??r????j???dtdt?a?dvdt?d??ri??d???j?
?i??r??j????j?????i ??r??????i??r??????j??r????
10