?此力是保守力，其势能为：
V??????????x,y,z??Fdx?Fdy?Fdz?? F?dr??xyz??????0,0,0??Fxdx?3?x,0,0??0,0,0????x,y,0?x,0,0?Fydy?32???x,y,z?x,y,0?Fzdz
?x,0,0??0,0,0?6abz?y?20bxy34?dx
?2????x,y,0?x,0,0y?6abxz?4?10bxydy????x,y,z?x,y,0?18abxyzdz2
?0?0?10bxydy?23?z018abxyzdz
?5bxy?6abxyz?Fz?y?Fx?z4
?0(b)
??Fy?z?Fz?x?6abxz2?54abxz2
??54abyz2?6abyz2?0
?Fy?x???Fx?z?18abz3?4abxy?18abz33?40bxy?03
此力不是保守力，不存在势能。
?Fz?y??Fy?z?0?Fx?z??Fz?x?0(c)
?Fy?x??Fx?z?0
此力是保守力，存在势能，在?x,y,z?处相对于?x0,y0,z0?的势能为：
V???F?dr???xx0Fx?x?dx??yy0Fy?y?dy??zz0Fz?z?dz
1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能： V(r)?ke??rr,k?0
试求：（a）中子与质子之间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；
（b）求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E. 解：（a）中子与质子之间的引力表达式：
F???V(r)?r?ker??r2?k?er??r?k(1??r)er2??r
36
平方反比引力定律： F??GMmr2??kmr22
（b）质量为m的粒子作半径为a的圆运动，向心力为： F?mv2r??k(1??r)er??r??r2(?k?0??a?加“?”)
v??2k(1??r)emrr?a??k(1??a)ema
动量矩：
2??a J2?(amv )??mka(1??a)e能量： E?
1.38 已知作用在质点上的力为： Fx?a11x?a12y?a13z Fy?a21x?a22y?a23z Fz?a31x?a32y?a33z
式中系数aij(i,j =1,2,3)都是常数，问这些aij应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。
解：势能存在的充要条件为：??F?0，即：
??Fy?Fz????z?y????a23?a32?0??12mv2?V??k(1??a)e2a??a?ke??aa?k(1??a)e2a??a
?Fx???Fz????a31?a13?0?x?z???Fy??Fx????y?x????a12?a21?0??
a31?a13a12?a21
要满足以上条件，必须满足：a32?a23即满足：aij?ajiV?(i?j)，势能存在。其势能为：
??x,y,z??Fdx?Fdy?Fdz?? F?dr??xyz??????0,0,0?? 37
????????x,0,0??0,0,0?Fxdx????x,y,0?x,0,0?Fydy????x,y,z?x,y,0?Fzdz
?x,0,0??0,0,0??a11x?a12y?a13z?dx
?a21x?a22y?a23z?dy ??(a31x?a32y?a33z)dz
?x,y,0?222??12?x,y,0?x,0,0??x,y,z? ??
(a11x?a22y?a33z?2a12xy?2a13zx?2a23yz)
1.39一质点受一与距离的
32次方成反比的引力作用在一直线上运动，试证此质点自
a4无穷远到达a时的速率和自a静止出发到达
证：如图所示，质点受引力作用：
F?r???kr3/2时的速率相同。
k为比例系数
O a/4 F r质点运动微分方程为：
mdrdt22a
??kr?3/2
drdt22?dvdt?dvdrdrdt?vdvdr
则上式为：
mvdvdr??kr?3/2
质点由?到a：
?mv10mvdv??k?r?a?3/2dr?12
v122?2kr?12a?4km?2ka?v1?a?14
质点由a到
a4：
v20a?3/2?mvdv??k?4radr
v222?2kr?12a4?2kaa?12
38
v2?4kma?14
?v1?v2
证毕。
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m，比例系数为k，如此质点从距原点O为a的地方由静止开始运动，求其到达O点所需的时间。
解：质点受引力为：F??kx，其运动微分方程为：
mdvdt??kx(1)
即： mvdvkdx??x
分离变量积分：
?vmvdv??kxdx0?ax
122mv?klnax
v?dx2kdt??mln(ax)(2)
（v与x反向，取负值） (?x?(0,a)?lnax?0x?0令：y?ln(ax)x?ae?y2dx??2aye?y2dy，代入（2）式得；
2ae?y2dy2kdt??m
分离变量积分：(x:a?0y:0??)
2a??0e?y2dy?2ktm?0dt
2a?2?2kmt
故到达O点所需的时间为： t?am?2k
39
lnax??)
1.41 试导出下面有心力量值的公式： F?mh22dp?2dr
式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，h?r2???常数， p为力心到轨道切线的垂直距离。
证：
??2h?r???rvsin?rsin??pv?hrsin??hp
由动能定理：
d(12??mv)?F?dr?Fdr2
Fdr?d[12m(hp2)]
2?F?mh2dp?2dr
证毕。
1.42 试利用上题的结果，证明：
（a）如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。 （b）如质点走一对数螺线，而其极点即力心，则力与距离立方成反比。 证：（a）如图所示：
mh22rp?rcos??r2?R2Rr2
F?dp?2drd?mh2?42ddr(r22R)?2
2 ?2mh2R2dr(r)??8mhR21r5
（b）对数螺线： r?ea?
rd?dr?r???r?vsin?vcos??tg?dr?aerd?dra?d??ard?1a??tg??常数 ?sin??常数而p?rsin?
40