?2l?1??22?v?1?v0/v????2?6???100??1??11?v02?? 2?/v??1?10???100??2????1??0.25522?28??1????100???小时?15
516分钟
1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米，如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。
解：选择：动点——雨点
前 A 后 动系——轮船
静系——岸边
v v? v? 雨对地的速度（绝对速度）v?8m/s
4 雨对船的速度（相对速度）为v?
船对地的速度（牵连速度）为v0 方向如图所示。
由相对运动速度公式有：
v?v0?v?
B
3 v0
2 C
由图形知：
?ABC与速度三角形相似，则：
vv0?ABBC?3?43?222?1
?v?v0?8m/s
1.16 宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c，一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地方。
解：0?y? v0?ky ?k?2cdd2：
y?d2v0?2cdv0?cy
16
tg??dydxy0?uv0?x0ud2cy
dx分离变量积分：
?ydy??yud2c
d2所以船的轨迹为： x?d2?y?dcud2(0?y?)
：
2c(d?y)
v0?k(d?y)?y?d2dydx?dcd2cdx?()?ud24uuv0yd2
tg???ud2c(d?y)
ud2c分离变量积分： 所以船的轨迹为： x??(d?y)dy??xcd4udx
2cuy?cudy?2cd2ucud(d2?y?d)
船在对岸靠拢的地点： y?d
1.17 小船M被水冲走后，有一荡桨人以不变的相对速度C2朝岸上A点划回，假定河流速度C1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。 解：这是一个牵连运动为平动的问题，选取平面极坐标系。
drdtx?2cud?d2?cd2u?cd2u
（径向绝对速度）?C1cos??C2 （1）
d?dt r（横向绝对速度）??C1sin? （2）
两式相除，得：
drr?(?dsin?sin??C21C1sin?)d? （3）
C2C1
?drr???dsin?sin??k?csc?d?k?
lnr??ln(sin?)?kln(tg
?2)?A
17
当r?r0时,???0?A?lnr0?lnsin?0?klntg?02
lnrr0?lnsin?0sin?tg(?ln[tg(?22)])k?0
令： ???2?0??02
sin?0sin?cos?0sin?cos?sin?0kkkkkk则：
rr0?sin?0tgk?sin?tg?0k?
?2sin?0cos?0sin?cos?0kk2sin?cos?cos?sinsincosk?1k?1?0
??cos?sink?1k?1?0?0
所以船的轨迹为：
r?r0sincosk?1k?1?cos?sink?1k?1?0?0
1.18 一质点自倾角为?的斜面的上方O点，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角?应为何值？
解：如图所示，?OBA?由正弦定理得：
OAsin(?2??
?2?OBsin[????(??)?2
??)]即：
OAcos??OBcos?(??)(1)
质点下降的加速度为：gcos?
OA?将（2）式代入（1）式得：
112gcos??t2(2)
2
gcos??tcos?2?OBcos?(??)18
t2?2?OB?cos?gcos(???)cos?
因t取极值时，t2也取极值，所以：
dt2d??2?OBcos?g2?OBcos?g(sin?cos(???)cos?sin2(???)2?sin(???)cos?cos(???))?0
2)
?cos??cos(???)22(???)?0 则： sin2即： 2????0
????2
证毕。
1.19 将质量为m的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即R?mk2gv2，如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为： v1?v01?kv220
证：选取坐标系ox，质点受力分析如图所示。 上升：质点运动微分方程为：
???mg?mk2gv2 m?xv??x?dxdxdxdt??x???x?x?dxdx 上式可写为：
22?) ??g(1?kx分离变量积分得：
?2)??2k2gx?C1 ln(1?k2xx?0??v0x?C1?ln(1?kv0)，代入上式得：
222 ln22?1?kx1?kv220??2kgx
2?222?2k??(1?k2v01?kx)egx
2到达最高点：
??0x?x?12kg2ln(1?kv0)
2下降：质点运动微分方程为：
19
???mg?mk2gv2 m?x? x?dxdx22?) ??g(1?kx积分得：
22?)?2k2gx?C2 ln(1?kx
??0xx?12kg2ln1(?kv0)22?C2??ln1(?kv0)22，代入上式得：
2222?)?(1?k2v0ln(1?kx)?2kgx
落至投掷点：x?0
22?2)?(1?k2v0(1?kx)?1
所以质点又落至投掷点时的速度为：
??v1? xv01?kv220
证毕。
1.20 一枪弹以仰角、初速自倾角为的斜面的下端发射，试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为：
d?2v0cos?sin(???)gcos22? dmax?v022gsec(2?4??2)
证：选取坐标系oxy，受力分析如图所示。 枪弹运动微分方程为：
???0x?m????mgy?m?(1)(2)
利用初始条件：t?0?x?0y?0???v0cos???v0sin?y?x
对（1）（2）两式积分两次得：
??t?x?v0cos??1y?vsin??t?gt0?2?(3)2(4)
（3）（4）两式消去t，得轨迹方程为：
?? y?xtgg2vcos?202x2
子弹击中斜面点：A(dcos?,dsin?)，满足轨迹方程：
20