2?2?? ????r?r?22?????i????????r????j ???ar??r?2??r22
???a????????
r??
证毕。
?，?及?y1.7 试自x?rcos?,y?rsin?出发，计算?并由此推出径向加速度ar和横x向加速度a?。
解：x、y坐标与平面极坐标r、?之间的关系，如图所示。
y ???r?cos??r??sin??x????r?sin??r??cos??y???????sin??r???sin?xr?cos??r??sin??r??2cos??r?
0θ 0r θ
O θ x ??sin??r??2cos????sin??r???r?cos??2r??cos??r??2sin????????cos??r???cos??r?yr?sin??r??cos??r??2sin????cos??r???r?sin??2r
?cos????sin? ar??xy2??sin?cos????sinθcosθ?r??2cos??r???r?cos??2r??cosθsinθ?r??2sin2????cosθsin??r???r?sin??2r22??r??r??
?cosθ???sinθa???yx??cos2??r??2sinθcosθ???cos2??r???r?sinθcosθ?2r??sin2??r??2cosθsin????sin2??r???r?sinθcos??2r
??? ????r? ?2r2r??r?? 径向加速度为： ar???? ????r?横向加速度为：a??2r 11
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。 证：v?v?v2?常数（已知） 上式对时间取微商： 2v?a?0???v?a??????即：v?a?0
即速度矢量v与加速度矢量a正交。
??又证：因为质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。
而
??v?vi
?2?dvdv?v?a??i?jdtdt?又v为常数（已知），所以： 故：
dvdt?0
?2?dvv?a??jdt?
????v?a 即速度矢量v与加速度矢量a正交。 证毕。
1.10 一质点沿着抛物线y2?2px运动，其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍，如此质点从正焦弦(,p)的一端以速度u出发，试求其达到正焦弦另一端的速
2p率。
解：由y2?2px得： tg??始点(,p)?终点(,?p)?22pptg?0?1dydx?py54?
? （第三象限）
74?0????4?tg???1??2???4? （第四象
限） a??dvdtan?v2??v2d?ds?vdsd?dtds?vd?dt
由题意知：
积分：
dvdt??2kvd?dt
12
?vudvvv??2k?d??0?
ln75??2k(???)u44 v?ue?k?
1.11 质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角?保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为v0。
解：按题意画图，如图所示。
a?沿切向与v同向，a与a?间夹角?，即a与v间夹角为?，为常数。则：
a?an?ctg?a??dvdtan?v2r
v2a?i a ? ?vv0dvdtdvv2O ctg?t0anj ?r
??ctg?r1v0??dt
?1v?ctg?rt
1.12 在上题中，试证其速度可表示为： v?v0e(???0)ct?g
式中?为速度矢量与x轴间的夹角，且当t=0时，???0
证：
a?an?ctg?a??dvvd?dvdtan?v2rr?dsd?
?分离变量积分：
ctg??
?0?vv0dvvvv0?ctg???d?
ln?(???0)ctg?v?v0e(???0)ctg?
证毕。
13
1.13假定以飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处，飞机相对于空气的速度为v?，而空气相对于地面的速度则为v0，A与B之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v?保持不变。
(a) 假定v0?0，则空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为：t0?(b) 假定空气速度向东（或向西），试证来回飞行的总时间为：；tB?t02lv?；
(c) 假定空气速度向北（或向南），试证来回飞行的总时间为：解：本题是牵连运动为平动的问题
选择：动点（运动物体）——飞机；
动系——空气； 定系——大地。
?v?v0?v?
其中v?为相对速度，v0为牵连速度，v为绝对速度。
(a)空气静止v0?0 v?v? 其大小为：v?v??2lt
0?tl0?2v?
(b)设空气向东流动
当飞机由西向东飞行时，vAB?v0?v?
?tlAB?v0?v?
当飞机由东向西返回时：?vBA?v0?v?
?tlBA?v??v
0故来回所花时间：
tB?tAB?tBA?llv??v?0v??v
0 14
1?v2/v?20tt0N?1?v2/v?2。
0 2l?2v?lv??vt01?v0/v?22220?v?1?v0/v?22
?
(c) 设风从南向北吹，飞机由西向东飞行时相对速度为v1，飞机由东向西飞时相对速度为v2，如图所示。
v1?v2??tN?2v0 v? v1
v??v0 lv??v02222v0 v2 v?
?2lv?1?v0/v?22
?t01?v0/v?22
1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米，如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？
解：设飞机为动点，风为动系，且由南向北吹，大地为静系。如图所示。
飞机向北行：v1?v0?v? 飞机向南行：v3?v??v0 飞机向东或向西行：
v2?v4?v??v0
2v0 v2 v?
v0 v? v? v0
绕正方形飞行一周所需时间为：
t?lv0?v??lv??v0?2lv??v022
v0 v4 ?2l2?v0v??1?2?v???????2lv?1?v202
v?
v? 15