圆的综合练习
1、如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。 （1） 求证：MN是半圆的切线。
（2） 设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，
求证：FD＝FG。
（3） 若△DFG的面积为4.5,且DG＝3,GC＝4,试求△BCG的面积。
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2、如图已知直线L：y?3x?3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。 4（1）求点A、点B的坐标。
（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，
保留作图痕迹）。
（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切 于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明 理由。
2
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC?PC，?COB?2?PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC?1AB； 2（3）点M是?AB的中点，CM交AB于点N，若AB?4，求MN?MC的值．
C
A O N B
M
??A??ACO， 解：（1）?OA?OC，C 又??COB?2?A，?COB?2?PCB， ??A??ACO??PCB． A
O N B 又?AB是⊙O的直径， ??ACO??OCB?90°，
M
??PCB??OCB?90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半径，
··································································································· （3分） ?PC是⊙O的切线．
3
P
P
??A??P， （2）?AC?PC，??A??ACO??PCB??P，
又??COB??A??ACO，?CBO??P??PCB，
??COB??CBO，?BC?OC，?BC?（3）连接MA，MB，
1AB． ····················································· （6分） 2?，??ACM??BCM， AB的中点，??AM?BM?点M是?而?ACM??ABM，??BCM??ABM，而?BMN??BMC，
?△MBN∽△MCB，?BMMN2?MC， ，?BM?MN?MCBM?， 又?AB是⊙O的直径，?AM?BM??AMB?90°，AM?BM．
············································· （10分） ?AB?4，?BM?22，?MN?MC?BM2?8． ·
4、如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若?AEC（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB?10，BC?8时，求BD的长．
E C
F
A 解：（1）直线BD和⊙O相切． O
证明：∵?AEC??ODB，?AEC??ABC， ∴?ABC??ODB．························································ 2分 ∵OD⊥BC，
∴?DBC??ODB?90°． ············································· 3分 ∴?DBC??ABC?90°．
E C 即?DBO?90°． ····························································· 4分
F ∴直线BD和⊙O相切． ··················································· 5分
（2）连接AC． A O
∵AB是直径，
∴?ACB?90°． ······························································ 6分 在Rt△ABC中，AB?10，BC?8， ∴AC???ODB．
D
B
D
B
AB2?BC2?6．
∵直径AB?10，∴OB?5． ····························································································· 7分 由（1），BD和⊙O相切，∴?OBD?90°． ···································································· 8分 ∴?ACB??OBD?90°． 由（1）得?ABC??ODB， ∴△ABC∽△ODB． ········································································································· 9分 ∴
4
ACBC6820?．∴?，解得BD?． ································································· 10分 OBBD5BD35、在Rt△ABC中，?ACB?90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．
A （1）求证：BD?BF；
D （2）若BC?6，AD?4，求⊙O的面积．
E O
解：（1）证明：连结OE． A B C F ?AC切⊙O于E，
D ?OE⊥AC，
，又?ACB?90°即BC⊥AC， E O ?OE∥BC， ······················································ 2分 ??OED??F．
B C F 又OD?OE，??ODE??OED， ??ODE??F，?BD?BF． ························································································ 4分 （2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
?AOOEr?4r??，?r2?r?12?0，解之得r1?4，r2??3（舍），即． ········ 7分 ABBC2r?46··········································································································· 8分 ?S⊙O?πr2?16π． ·
6、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知 AB=8，边BC比AD大6, (1)求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、 D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由。 解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F
在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC－AD=6 ∴DC2=62+82=100，即DC=10 ………1分 设AD=c，则DE=AD=x，EC=BC=x+6 ∴x+(x+6)=10 ∴x=2
∴AD=2，BC=2+6=8 ……………………4分 方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD=DE，CB=CE 设AD=x，则BC=x+6
由射影定理可得：OE2=DE2EC…………………………………………2分 即：x(x+6)=16 解得x1=2, x2=－8（舍去）
∴AD=2， BC=2+6=8 ……………………………………………4分 （2）存在符合条件的P点
设AP=y，则BP=8－y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
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