C E O C F C F B
A O E B
A O B D A 图10（1） 图10（2） 图10（3）
解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）
∴∠ACB＝90o（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60o（已知） ∴∠BAC＝180o－∠ACB－∠ABC＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O的直径为4cm．
（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/22AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90o（垂直的定义）
∵∠BAC＝ 30o（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60o（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半）
∴∠D＝180o－∠COD－∠OCD＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切． （3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1
如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6
∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．
13、如图，点A、B、C是?O上的三点，AB//OC. （1）求证：AC平分?OAB. （2）过点O作OE?AB于点E，交AC于点P. 若AB?2，
CBEA?AOE?30?，求PE的长．
解：（1）∵AB//OC， ∴?C??BAC；∵OA?OC，∴?C??OAC ∴?BAC??OAC 即AC平分?OAB. （2）∵OE?AB ∴AE?BE?OP1AB?1 又??AOE?30?，?PEA?90?∴?OAE?60?211
∴?EAP?11?OAE?30?， ∴PE?PA，设PE?x，则PA?2x，根据勾股定理得22PE33（或者用tan?EAP?） 即PE的长是.
AE33x2?12?(2x)2，解得x?
13、如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y=?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点
P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
y l l
A O A x
P
B
解：（1）⊙P与x轴相切．……………1分 直线y??2x?8与x轴交于A??4，0?， 与y轴交于B?0，-8?，
（备用图）
l A y O P B P2 第（1）题
第（2）题 l x A C E y O P1 D B y O x ?OA?4，OB?8，
?PB?PA?8?k. 由题意，OP??k，22?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，2x ?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD. 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E.
1333?△PCD为正三角形，?DE?CD?，PD?3，. ?PE?222??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，△?AOB∽△PEB，
33AOPE4315??，?2，?PB?即，……………2分 ABPBPB245?315?315?PO?BO?BP?8?，?P??0，2?8??， 2???k?315?8.……………2分 212
??315P?8?当圆心在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-??， 2???k??315?8，……………2分 2315315以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形?8或k???8时，
22? 当k?是正三角形．
0)和点E(0，4)．动点C从点M(5，14、如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，0)出发，
以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长
度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、
1t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），2y E P O A C B M D x 连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．
13
0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于15、如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(?4，A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心
的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．
14
y l 60° O1 O B O2 D x A C 解：由题意得OA?|?4|?|8|?12，
?A点坐标为(?12，0)．
y l 60° ?在Rt△AOC中，?OAC?60°， OC?OAtan?OAC?12?tan60°?123 ?C点的坐标为(0，································· 1分 ?123)． ·
设直线l的解析式为y?kx?b， 由l过A、C两点，
O1 O3 P O2 x A O B D1 D C ????123?b?b??123得?解得? ???0??12k?b?k??3········································································ 3分 ?直线l的解析式为：y??3x?123． ·
（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，
⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．
则OO13?O1P?PO3?8?5?13
?O3D1⊥x轴，?O3D1?5，
在Rt△O1O3D1中，O1D1?O1O3?O3D1?13?5?12． ······································· 6分
2222?O1D?OO1?OD?4?13?17， ?D1D?O1D?O1D1?17?12?5，
?t?5?5（秒） ?⊙O2平移的时间为5秒． ································································· 8分 1
16、如图10，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF?BF；
（2）若AD?2，⊙O的半径为3，求BC的长．
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C D F A O E B
图10