① △ADP∽△BCP时，有8ADAP2y∴y=…………6分?，即?5 BCPB88?y
②△ADP∽△BPC时，有ADAP2y∴y=4 ……………7分 ?，即?BPBC8?y8
8或4 ……………………………………8分 5故存在符合条件的点P，此时AP=
?分为三等份，连接MC并7、已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA延长交y轴于点D(0，．（6分） 3) （1）求证：△OMD≌△BAO；（2）若直线l：y?kx?b把⊙M的面积分为二等份， 求证：3k?b?0．（4分）
2 1 O M 3 A x y D?0，3? 4 C B ?三等分，∴?1??5?60°， · ·证明：（1）连接BM，∵B、C把OA······························ 1 分
1?5?30°， ········································································ 2 分 21 又∵OA为⊙M直径，∴?ABO?90°，∴AB?OA?OM，?3?60°， ············ 3 分
2∴?1??3，?DOM??ABO?90°， ············································································ 4 分
又∵OM?BM，∴?2???1??3，?在△OMD和△BAO中，?OM?AB， ································································· 5 分
??DOM??ABO.?∴△OMD≌△BAO（ASA） ····························································································· 6 分 （2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，
y 则直线l必过圆心M， ············································· 7 分
D?0，3? 3)，?1?60°， ∵D(0，OD3??3， ∴OM?tan60°3∴M(3，··························································· 8 分 0)， ·把 M(3，0)代入y?kx?b得：
6
4 C B 2 1 O M 5 3 A x ························································ 10 分 3k?b?0． ·
8、如图 11，矩形ABCD中，AB?5，AD?3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）当E是CD的中点时：
①tan?EAB的值为______________； ② 证明：FG是⊙O的切线；
（2）试探究：BE能否与⊙O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由． E D C
O G
解：（1）①
A F 图11
B
E 6D C ······························································· 2分
5O G ②法一：在矩形ABCD中，AD?BC，
?ADE??BCE，又CE?DE， B A F ∴△ADE≌△BCE， ················································ 3分
得AE?BE，?EAB??EBA，
连OF，则OF?OA， ∴?OAF??OFA， ?OFA??EBA， ∴OF∥EB， ·················································································· 4 分 ∵FG⊥BE， ∴FG⊥OF， ∴FG是⊙O的切线 ································································································· 6分 （法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．参照法一给分．） （2）法一：若BE能与⊙O相切， ∵AE是⊙O的直径， ∴AE⊥BE，则?DEA??BEC?90°，
又?EBC??BEC?90°， ∴?DEA??EBC，
∴Rt△ADE∽Rt△ECB， ADDE3x??， ∴，设DE?x，则EC?5?x，AD?BC?3，得ECBC5?x3整理得x?5x?9?0． ······································································································· 8 分 ∵b?4ac?25?36??11?0， ∴该方程无实数根．
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切． ·········································· 10分 法二： 若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，?AEB?90°，
222设DE?x，则EC?5?x，由勾股定理得：AE?EB?AB，
2222即(9?x)?[(5?x)?9]?25， 整理得x?5x?9?0， ······································· 8分
2∵b?4ac?25?36??11?0， ∴该方程无实数根．
7
2∴点E不存在，BE不能与⊙O相切． ·········································· 10分 （法三：本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解，参照前一解法给分）
9、问题：（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的
1. 31. 3AE（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的
A
E G O BBCF
D
图1解：（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC
∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ 同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ
OCD图2∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ ∴S四边形AHOG=S四边形BHOF=S四边形CFOG， 又∵S?ABC?S四边形AHOG+S四边形BHOF+S四边形CFOG=3S四边形CFOG∴S四边形CFOG=S?ABC．
（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ. 则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120° ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG ∴△MOF≌△NOG，∴S四边形CFOG=S四边形CMON=S?ABC ∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的
10、如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c． 阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1
n的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周（360分之n）．实
360践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在
8
13131. 3阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转 周．
（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=⊙O4的位置，⊙O自转 周．
拓展联想：
（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由． （2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数． ．．B
O1 O1 O O2 O2 O2 O1 O O3 O B n° D A B A D B C A 图13-2 图13-1 C A O4 C
图13-4
图13-3
1c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到2l151解：实践应用（1）2；．；． （2）．
436cl拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．
c又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了
O D 360． ?1（周）
360图13-5
l∴⊙O共自转了（+1）周．
cl（2）+1．
c
?11、如图10，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC?4，?OAC?60．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图10中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3） 如图11，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO?S△CAO时，求动点M所经过的弧长．
9
C C P A O
B
A M 2 O B
图10
图11
．解：（1）∵ 在△ACO中，?OAC?60，OC?OA
∴ △ACO是等边三角形 ∴ ∠AOC?60° ························································ （3分） （2）∵ CP与⊙O相切，OC是半径． ∴ CP⊥OC
∴ ∠P?90°-∠AOC?30° ∴ PO?2CO?8 ·············································· （6分） （3）如图11，（每找出一点并求出弧长得1分）
① 作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1 ．
C M3 ?4π4?AM1??60?π ∴ ?180?3易得S?M1AO?S?CAO，?AOM1?60?
A M 2 M1 O B ∴ 当点M运动到M1时，S△MAO?S△CAO， 此时点M经过的弧长为
M2 图11
4π． 3② 过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连结AM2，OM2，易得S△M2AO?S△CAO． ∴ ?AOM1??M1OM2??BOM2?60?
AM2?∴?4π84π8??2?π 或 ?AM2??120?π 33180?38π． 3∴ 当点M运动到M2时，S△MAO?S△CAO，此时点M经过的弧长为
③ 过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连结AM3，OM3，易得S△M3AO?S△CAO ∴ ?BOM3?60?，
AM2M3?∴?4π168π16???240?πAMM??2?π 或 23180?33316π． 3∴ 当点M运动到M3时，S△MAO?S△CAO，此时点M经过的弧长为 ④ 当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO?S△CAO， 此时点M经过的弧长为
4π2016π4π20??300?π??π． 或 180?3333
12、如图11，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0?t?2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
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