??1??J??0其中 A???0?1?可取为 T??0?1?0?200??1 ??2??2?1??11T
?2?2?2?2??
?2001?01（ⅱ）设 A?????00??0 ??1?? 求eJt和eAt。
（ⅲ）A同（ⅱ）， B??110?T,C??001?
判断系统的可控性和可观测性。若系统不可控或不可观测，确定不可控
或不可观测的模态；
（ⅳ）A,B,C同（ⅲ），D=0，x?0???1?11?T,x?t?是状态方程在初态x?0?下的
解，证明xT?0?x?t??3e?t?u?t?,t?0，并解释这个结果。
??1?0（ⅴ）又设 A???0??0001000010??0? 0???1? B,C,D待定。若要通过状态反馈u?t??Kx?t?配置系统的极点，至少需要几
个独立的控制变量（即B至少要有几个线性无关的列向量）？请说明理由。若要通过状态反馈u?t??Kx?t?使闭环系统渐近稳定，至少需要几个独立的控制变量？请说明理由。
三、频率响应分析 （25分）
考虑图2所示的控制系统，其中Gc?s?,G1?s?和G2?s?均为最小相位系统，其渐近对数幅频特性曲线如图3，H(s)=1。
图2：由三个最小相位环节构成的反馈控制系统
图3：渐近对数幅频特性曲线
（1）确定开环传递函数G0?s??Gc?s?G1?s?G2?s?H?s?并画出其渐近对数幅频和相频特性曲线（要求按图3中的尺寸自制两张对数坐标纸）； （2）画出Nyquist曲线G0?j??；
（3）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值，并用根轨迹方法验证； （4）求K=1和K=2时的稳态误差和加速度误差。
四、非线性控制系统 （25分）
系统的方框图如图4所示，其中?1??2??3?1，M2?M3?1，K1?1，所有的非线性特性均关于原点中心对称，G?s??s?1s2。画出负倒特性曲线和线
性部分G?s?的Nyquist图，以此分析系统是否存在自激振荡及其稳定性；如果存
在自激振荡，请计算输出y?t?的振幅和频率。图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：
?2K1??1???arcsinN1?X???1??2XX?2???1?1?????X???，X??1
N2?X??2K2?4M??2??arcsin?2XX??232???2?1?????X???，X??2
N3?X???X4M3?3???1??3??j，X??3 2X?X??
图4：具有非线性特性的反馈控制系统
五、离散控制系统 （25分）
考虑如图5所示的直流电机速度控制系统，ZOH表示零阶保持器。设模拟被控对象的传递函数如下：
Gp?s??261714.877?s?297.456??s?879.844?
数字控制器由微处理器实现，其脉冲传递函数为
D?z??KP?KRT?z?1??? 2?z?1?式中，T?0.001s、KP?1和KR?295.276
图5：直流电机速度控制系统的框图
（1）求数字控制系统的开环和闭环脉冲传递函数； （2）判断整个控制系统的稳定性；
（3）当?d为单位阶跃函数时，求数字系统在采样时刻的输出响应； （4）重新设计数字控制器D?z?，使数字系统对单位阶跃输入具有最小拍输出响应。
常用函数的z-变换表：
1s?zz?1；
1s???zz?e??T；
1s2?Tz?z?1?2
六、Lyapunov稳定性 （20分）
设非线性系统的数学描述如下：
。。x?x?x?1?0
2。（ⅰ）写出系统的状态方程； （ⅱ）求系统的所有平衡点；
（ⅲ）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。
北京理工大学
2005年自动控制理论考试试题
一、（25分）最小相位系统的开环渐近幅频特性曲线如图（1）所示，其中参数?1，
?2，?3，?c为已知。
（1）求开环传递函数表达式；
?c/?2?2，?c/?3?0.1（2）给出闭环系统相位稳定裕量表达式。当?c/?1?100，
时，判别系统的稳定性，并画出Nyquist图的大致形状；
（3）设参考输入r?t??bt?12ct2,求系统的稳态误差。
图（1）
二、（20分）系统如图（2）所示。 （1）画出以Kt为参数的闭环根轨迹；
（2）从根轨迹上确定Kt应取的值和闭环极点，使系统的单位阶跃响应的动态品质指标百分比超调?%?16.3%。
图（2）
三、（20分）设
f1?s??s?6s?12s?832f2?s??s?3s?4s?232
f?s,????1???f1?s???f2?s?（1）试用Routh判据证明，对所有??[0,1]，f?s,??均稳定。 （2）试用根轨迹方法证明，对所有??[0,1]，f?s,??均稳定。
四、（20分）考虑如图（3）所示的离散时间控制系统，D?z?为数字控制器。