?010??0?A?bfT???001??????0??f1f2f3?
???0.5?2.25?3????1???010????001?? ???0.5?f1?2.25?f2?3?f3??sI??A?bfT??s3??3?f23?s??2.25?f2?s??0.5?f1?
希望的特征多项式为?s?0.5??s?0.5?s?s3?0.25s
令sI??A?bfT?= ?s?0.5??s?0.5?s，可得
?3?f3?0?f1?0.5??2.25?f?2??0.25??f2?2.5 ??0.5?f?1?0?f3?3即将极点配置在-0.5，0.5，0的状态反馈矩阵为f??0.52.53?T。。。。。六、解：（ⅰ）y?y?sin?y?0 令x1?yx2?y，则
?。状态方程为： ??x1?x2。
??x2??x2?sin?x1?。（ⅱ）由??x1?0?x2?0?x1?k?k?0,?1,?2,??。，得 ???x2?0??x2?sin?x1?0??
?x2?0 所以系统所有的平衡点为?k，0?T。其中k?0,?1,?2,?
（ⅲ）①在平衡点xTe??k，0?，k?0,?2,?4,?处：
。
做偏差置换，令?y?x??11?k?y???y1?y2。
2?x2??y2??y2?sin??y1?k? 将其线性化，得
??f?f?11?A???y1?y?2?f???01???01??0??f22?????cos??y?1?k??1?y?1?0???cos?k?1??????????y1?yy2?02??y1?0y2?0??1??
1
?I?A?0??1??1?j4??12，?2??1?j4??12
两个特征值均具有负的实部，?平衡点xe??k，0?T，k?0,?2,?4,?处是渐近稳定的。
②在平衡态xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处：
T。??y1?x1?ky1?y2???。 做偏差置换，令?
?y2?x2??y2??y2?sin??y1?k?将其线性化，得
??f1??yA??1??f2???y1?f1??y2???f2??y2??1??0??????cos??y1?k??1?y1?0y2?0y1?0y2?0?0?????cos?k1??0????1???1?? ?1?
?I?A?0??1??1?4??12，?2??1?4??12
T有一个特征值具有正的实部，?平衡点xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处是不稳定的。
2006年
一、解：（1）系统的开环传函G0?s??绘制根轨迹的步骤如下:
①开环极点p1?0，p2??2 数目 n=2；无零点
系统有两条根轨迹，分别起始于p1，p2，终止于无穷远处。 ②实轴上根轨迹段为??2，0?； ③渐近线与实轴夹角为?a??90?； 渐近线与实轴交点为?a?0?22??1；
Ks?s?2?
1④由d?1d?2?0
?分离点d??1由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：
???（2）由 Mp?e
1??2?e?????K22?0.707
闭环传递函数为 ??s??s?2s?K2
??2??n?2?K?2? 由 ?K??n2??
??n?2?2???2?
上升时间 tr?22????n1??2?34?
（3）要保持Mp不变，即??，结合tr?????n1??2?38?，得到?n?22
1??Kc?s??T??由题意得，Gc?s??1s?T?
1??Kc?s??1T????开环传递函数G0?s??Gc?s?G?s?? 1s?s?2?s?T?为使闭环系统尽可能简单，取
1T?2，即T?0.5,此时G0?s???Kc2??s?s?????
2?Kc??n?88?s?2??由?2，所以Gc?s???2??n?4???0.5s?4???
??Tx，则x?T?1x?代人（1）可得 二、解：（ⅰ）x。。???1?1?Tx?x??ATx??Bu??TAT????1???Du?y?CTx?y?CT?1?1??TBux??Dux
令
??TATA?1??B2?1?TB??CTC?1。????,即可得到?x??y??x?u??BA
???DuCx00??1 ??2???1? 由T??0?1??11?2?0??2?2?，A?1?2??2??0?0001?a0???1???J??0?a1，计算得A????a2???00e?2t?20??1（ⅱ） J??0???0?20?e?1t0???Jt1?e??0??0?2???00??t?te2??te2??
?01 A?????00010??0??0相当于（ⅰ）中的A?1????1???0001?a0???a1 有a0?a1?0??a2???1101??0 ?0??a2?1
则f?s??s3?s2?s2?s?1?,即?1??1?1??2?0，此时T?0???1?1 A可通过非奇异阵T化为约当阵，即TAT?1??1Jt?TeT?0???1?1101??0?0???1?J。 所以
1??10??0?t1???t?t0????e?t?11?e0??0??te??eAt?e?t??0?0?0100??1??t?0??1???1?110
（ⅲ） rankUc?rankB?AB?1?2AB?rank1???0011?0??0?2?3， ?0??所以系统不完全可控；
rankVo?C??0????rankCA?rank0???2???CA???101?11???1?3 ?1??所以系统完全可观测；
确定不可控模态是在A为J的情况下，看B中的某一行是否为零。
??10此题中A化为J?????00000??1???TB??01时，B???0???1?1100??1??0??????01?1 ?????0????0????1??可见，?1??1所对应的模态为不可控模态，即e?t。
（ⅳ）x?t??ex?0???eAt0tA?t???Bu???d??ex?0??AtT?t0eBu?t???d?
AtxT?0?x?t??x?0?eTAtx?0??x?0??t0eBu?t???d?
At??110???11?t1??t?t??e?t?11?e?t0??1????0?1??1????te????1??10?t??11???t10??t?t??e?t?11?e0??1????01u?t???d?????te????0???3e??1?1???t?11?t?1?u?t???d???0??t???3e?t??u?t?,t?0都有xT?0?x?t??3e?t。
0?10000000??0?，B至少要有2个线性无关的列1??0???1?0???（ⅴ）①将A化为约当阵为A?0??0向量。原因：
若要通过状态反馈u?t??Kx?t?配置系统的极点，即保证系统完全可控。
?,B??A对应的约当阵中出现了两个约当块对应同一特征值-1，若要保证??A?中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线?中对应A状态完全可控，B?的第一行、第二行必须是线性无关的。 性无关的，即B?中至少要有2?B个线性无关的列向量。