，
因为所以
，所以，即
.
，
方法三（构造函数） 令因为
，将
，所以此函数为减函数，又
，
所以
，即
.
看作是关于的一次函数，
，
两个数比较大小的基本思路：
如果直接比较，可以考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方法一与方法二），或者利用函数的单调性来比较（如例3（1）（2）（3），例4的方法三）.
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较（如例3（4）（5）（6））.
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略 例1：下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
（A）, （B）,
（C）, （D）,
易错点：① 定义域；② 对应法则；③ 函数的概念.
错因分析：① 忽视函数的定义域；② 不清楚函数概念的实质，如（B）中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.
解题策略：判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.
一般有两个步骤：（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.（2）对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致.
分析：（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个函数的定义域相同，化简后为
及
，对应法则也相同，所以选（B）.
这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系. 例2：已知函数
的定义域为
，求函数
及
的定义域.
易错点：① 对应法则定义域；② 定义域的概念.
错因分析：① 对对应法则的符号不理解；② 不清楚定义域的含义. 解题策略：此题的题设条件中未给出函数
的解析式，这就要求我们根据函数三要素
制约的量
制
之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指的取值范围；②受对应法则的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的 .那么由约的量的取值范围是
，而在函数
得
.
在
上有定义，
的值不恒为零，对于任意的的奇偶性为_________. 中，受
的定义域是直接制约的是，即
可知法则
，而定义域是指
. 同理
的范围，因此通过解不等式可得
的定义域为例3：设函数
的定义域是
，恒有
成立，则函数
易错点：① 抽象函数；② 对“恒成立”的理解.
错因分析：① 抽象函数的有关性质；② 对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.
解题策略：关于对抽象函数“令
为某些特殊的值，如本题解法中，令则可以得到令
，等等.
.得到
，在某些
”的使用一般有以下两个思路： 得到了
.当然，如果令
具有某种特殊的关系，如本题解法中，令
，等等.
情况下也可令
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.
解：令再令故
，则
，则
，所以，所以
，
，又
的值不恒为零，
是奇函数而非偶函数. 例4：已知函数（1）比较（2）若
是定义域为与
的单调增函数.
的大小；
，求实数的取值范围.
易错点：① 函数概念；② 增函数.
错因分析：① 对函数概念中的对应法则的理解不清楚；② 没有理解增函数概念的实质，不会将其应用于解决问题.
解题策略：回顾单调增函数的定义，在的问题：减.
由定义可知：对于任取的间上是增函数；
不仅如此，若若
，且函数，且函数
在区间上是增函数，则在区间上是增函数，则
；
；
，若
，且
，则函数
在区
的符号；
，
为区间任意两个值的前提下，有三个重要的符号；函数
在区间上是增还是
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着自然的联系，请结合例4加以体会.
解：（1）因为由已知，（2）因为解得
或
是单调增函数，所以是单调增函数，且
.
，所以
. ，所以
，
，
四、学生学习目标检测分析 （一）课程标准中的相关要求 1．函数
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2．指数函数
① 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。
② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 3．对数函数
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
14
③ 知道指数函数y=a与对数函数y=loga x互为反函数。（a > 0, a≠1） 4．幂函数
x 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x, y=x, y=它们的变化情况。
（二）高考考试内容与要求 1．函数
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, y=的图像，了解
① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.
③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.
④ 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 2．指数函数
① 了解指数函数模型的实际背景.
② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. 3．对数函数
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型；