关于数学概念学习的一般理论
概念是人脑对事物本质特征的反映（哲学观点）。数学概念是客观事物在数与形方面的本质特征与联系在人脑中的反映。它通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。例如“圆”这个概念，“圆”这个词是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是概念的例子；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为半径（定长）等。
一、数学概念的结构
目前，在认知心理学领域，对概念结构的研究有多种理论，其中的特征表说具有代表性。特征表说认为概念由两个因素构成：①定义性特征，即一类个体具有的共同的有关属性；②定义性特征之间的关系，即整合这些特征的规则。这两个因素有机地结合在一起，组成一个特征表，可以表示为的定义特征，
。其中
表示概念，
表示一类个体具有的共同
表示整合这些特征的规则。
例如，“菱形”这一概念的结构为：菱形合取（邻边相等，平行四边形）。
通常，规则指形式逻辑中的联结词，包括肯定、否定、合取、析取、蕴含等基本形式
在概念结构中是非常重要的因素，因为一个概念的定义
以及这些基本联结词的复合。规则
性特征往往不止一个，而是由多个定义性特征组成，这些定义性特征的联系就靠规则去作用。
对数学概念而言，蕴含式规则最为常见，例如：单调增函数蕴含
。
二、数学概念的特点
由于数学的研究对象是事物的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有于此相对应的特点。
1.数学概念反映了一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，它是排除了一类对象的具体物质内容后的抽象，反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。
2.数学概念是对现实世界的数量关系和空间形式的简明、概括的反应，并且由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号有比其它学科更加简明、清晰、准确的表达形式。数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。
3.数学概念是具体性与抽象性的辩证统一。有些数学概念是思维的自由想象和创造的产物，他们与真实世界的距离是很遥远的，如“虚数”、“维空间”等；还有一些数学概念是抽象之上的抽象，这些表明了数学概念的高度抽象性。但另一方面，数学概念又是非常具体的，一个数学概念背后有许多具体内容为支撑，学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体例证，才算正真正掌握了数学概念，从这个角度讲，数学概念又是非常具体的。
4.数学概念具有很强的系统性。先前的数学概念往往是后续概念的基础，从而形成数学概念的系统结构。公理化体系就是这种系统性的最高反映。数学概念的这种特性要求学生在数学学习时必须做到循序渐进，一步一个脚印，扎扎实实打好数学基础。
三、数学概念的获得
学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。例如，学习“棱锥”这个概念，就是掌握：凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三角形等几个关键属性。同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念的获得方式叫做概念形成；也可以用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种概念的获得方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。
1.概念形成
概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，这一过程可概括如下：
(1)辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经、验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不论是那种刺激模式，都必修通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。例如，形成矩形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，像桌面、墙壁、黑板、书本表面等。
(2)分化出各种刺激模式的属性。为理解该类刺激模式的本质属性，就要、对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如桌面可看成是四边形，两组对边分别平行且相等，四个角相等，等。
(3)概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设。上例中，共同属性有：可抽象地看成平行四边形；四个角相等；两组对边分别平行且相等，等。共同关键属性可假设为：（）两组对边分别平行且四个角都是直角的四边形是矩形；（）两组对边分别相等且四个角都是直角的四边形是矩形；（）四个角都是直角的平行四边形是矩形，等。这里，提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。
(4)在特定的情境中假设检验，确定关键属性。检验过程中，采用变式是一种有效手段。 (5)概括，形成概念。验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的已有有关观念分化，用语言概括成为概念的定义。上例中，（）（）中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系，而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角是直角”，那么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角”，因此只要取前两个关键属性即可，于是将矩形定义为“两组对边分别平行并且有一个角是直角的四边形”。
(6)用形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确和全面的理解。这时，就应及时地引进数学符号。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生看到符号时就能够联想到符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立联系，那么，符号的掌握又可以提高学生的抽象和概括能力。数学中的逻辑推理，关键就在于能够合理、恰当地运用符号，而这又要依靠对符号实质意义的把握。
(7)组织，就是把新旧概念进行归类整理，并按照相应的类属关系进行编码，从而形成一个合理有序的概念系统。这既是在更大范围内检验和修正概念的过程，又是一个概念应用的过程，从中我们可以看出概念的本质是否已经被真正理解。在这个过程中，我们可以让学生对一些概念的等价语言进行判断和推理。上例中“对角线相等且互相平分”就是矩形概念的一个等价语言。通过这个过程，使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关概念建立实质性联系，并将新概念纳入已有认知结构，从而形成新的认知结构，使之成为一个整体，因此这是概念形成的一个非常重要的步骤。
2.与概念形成对应的教学分析
用概念形成方式教学概念时，必须强调按学生的认知规律办事。如下几个方 面值得注意：
（1）给学生提供的刺激模式应当是正例，而且数量要恰当。
（2）向学生呈现刺激模式时，应该采用同时呈现的方式，以利于学生进行分析、比较，这样可以减轻学生的记忆负担。
（3）要注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣的例子作为刺激模式，这样的刺激模式有利于学生进行深入地观察，展开积极的思维活动，对各个刺激模式的属性进行充分地分化，有利于培养学生从平常的现象中发现共性或因果关系的能力。
（4）要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，引导学生从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念。
（5）在确认事物的关键属性，概括成概念以后，教师应当采取适当的措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没。例如，学习三角函数中“第一象限角”这个概念后，如果不及时与已有的“锐角”概念分化，则学生容易把它与锐角等同起来。
（6）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固定点作用的相关概念建立起实质性的联系。这样可以使概念的记忆效果提高，有利于概念的检索，有利于用以掌握的概念去吸收和理解新的知识。
（7）在用概念形成方式教学概念时，教师的语言引导作用很大，它可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括。同时，教师还应设法用一定的教学情境来引导学生回忆和提取与概念学习的有关知识，激发新概念与已有认知结构的矛盾，引起学生的积极思维，使学生积极主动地投入学习。
应当注意，用概念形成方式教学概念时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤，如果没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，容易造成对概念的片面、孤立甚至是错误的理解。
3.概念同化
随着学生学习知识水平的提高，他们的认知结构中的知识不断丰富，所掌握的概念也越 来越系统。相应地，概念同化也逐渐成为他们获得概念的主要形式。概念同化属于接受学习，要使学生有意义地同化新概念，新概念必须具有逻辑意义，学生的认知结构中必须具备同化新概念的适当知识。用概念同化方式学习概念一般要经历一下几个阶段：
（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。如“一次函数”的定义为“形如
的函数叫做一次函数”。
（2）对概念进行特殊地分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。如“一次函数”的特例是
等，实际是对
的某些特殊值进行讨论。突出函数
表达式中，自变量的次数为一次这个关键特征。
（3）使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起联系，把新概念纳入到已有概念体系中，同化新概念。上例中，可以把一次函数与函数、一次多项式等概念作比较，认识一次函数与这些相关概念的联系与区别。
（4）用肯定例证与否定例证让学生辨认，是新概念与已有认知结构中的相关概念分化。例如，概念辨析：函数指出相应的
是否为一次函数？如果是，
分别是多少。这一阶段继续巩固新概念的本质特征。
（5）把新概念纳入到相应的概念体系中，市有关概念融会贯通，构成一个整体。 4.与概念同化对应的教学分析
（1）用概念同化方式获得概念，实际上使用演绎方式学习概念的一种形式。因为它是从抽象定义出发来学习概念的，所以应注意及时应用实例，使抽象概念获得具体例证的支持。
（2）新概念的获得主要依赖认知结构中原有的相关概念，必须通过新旧念的相互作用，实现新旧概念的同化，进而形成分化程度更高的认知结构。
（3）用概念同化方式获得概念，不同于“注入式”的教学，因为用概念同化方式教学时，教师为了把自己对概念的理解传授给学生，必须将他的主观理解赋予一定的客观形式，才能进行概念教学。而从学生的角度来说，他所接受的并不是现成的概念本身，而是教师用以说明他的理解的一些信息，学生要对教师传递的信息进行加工、转换，在自己的头脑中重新建构对概念的理解。
5.两种概念获得方式的融合
在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用。如果仅用概念形成方式学习，显然受紧张的教学课时的制约；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难于把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性。因此，应该把两者结合起来使用。一般来说，教师可以先通过具有典型性的实例，引导学生通过对它们的共同本质特征的概括而形成概念的定义；在揭示概念的定义后，再引导学生在定义的指导下去观察实际事例，这时定义的导向可以使学生比较容易揭示实例中包含的与概念有关的关键属性。同时，通过正