④ 了解指数函数与对数函数互为反函数（）.
（三）两个典型高考题目剖析： 例1（2010年全国卷 理8）已知函数的取值范围是（ ） （A）
（B）
（C）
（D）
.若
，且
，则
分析：本题的知识涉及对数函数的图象和性质，函数图象的变换，利用导数研究单调性，不等式中的均值定理等内容；涉及到数形结合与等价转化的数学思想，有一定的综合性.
思路一：因为因为函数
，得
又因为
在. ，所以
，且
.
，即
上单调递增，由
，所以
，得
.
，不合题意；由
从而，其中.
令区间
，则
上单调递增.由此可知，
，当
，故
时，，所以函数
的取值范围是
在，正确
选项是（C）.
思路二：函数且
，从而有
的图象如右图所示.因为，且
，
.以下同解法一.
的隐含条
，从而得出的选
本题颇有些“绵里藏针”，如果未注意到件，而直接利用均值定理，
A或B的错误结论.本题对于函数与导数考查的深刻性与灵活性可见一斑.
例2（2010年北京卷文14） 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，设顶点
的纵坐标与横坐标的函数关系是两个相邻零
，则的最小正周期为 ；在其
点间的图象与轴所围成区域的面积为_______. 说明：“正方形方向滚动指的是先以顶点
沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正为中心顺时针旋转，当顶点
落在轴上时，再以顶点
为中心
顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形
分析：不难想象，从某一个顶点（比如落在轴上，在倒下一次
点落在轴上，
可以沿轴负方向滚动.
）落在轴上的时候开始计算，倒下一次
点
.这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每
两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为.
下面考察
点的运动轨迹，不
点从原
点圆
妨考察正方形向右滚动，
点开始运动的时候，首先是以为圆心，为半径作圆周运动（弧）；当
点落在轴上后，再以
为半径作圆周运动点落在轴上后，
圆弧）；最终当
点落在轴上后，以点
为圆
点为圆心，（再以
圆弧）；当
点为圆心，为半径作圆周运动（
点在轴上保持不动，因此
心作圆，在其两个相邻零点间的图象如下：
.
所以，在其两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积为
数与形的运动变化是近几年数学高考的热点问题，如何认识和刻画图形的运动，并揭示相应的数量关系，是分析和解决这类问题的两个关键点.
【互动话题】
1．初中已经有函数概念了，在高中阶段为什么重新加以定义？
主要内容：教师将结合具体教学案例，对高中函数概念的建立以及初、高中函数概念的区别与联系，对教师的教学提供合理化建议。
2．反函数的要求变化后怎样处理这部分教学？
主要内容：《课程标准》削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数
(
，
与对数函数
)互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求
求已知函数的反函数。教师介绍教学实践中的经验，以及一些灵活处理。
3．幂函数的教学实践
主要内容：《课程标准》要求结合函数的图象，了
解幂函数的变化情况。由于幂函数图象的复杂性，这一具体要求如何在课堂教学中加以落实？话题3将围绕教学中的灵活处理给教师一些参考意见。（二附中陈龙清案例）
话题4：函数的单调性是教学难点，新课程背景下如何实现突破？
主要内容：函数的单调性及其应用是教学难点，教学过程中如何把握其本质特征，掌握好这一核心性质，本话题将通过一个教学案例加以分析，为教师提供教学建议。
【案例评析】 一、总体构思：
本节课内容选自人教B版必修1第三章第3.3节．《课程标准》中对本部分内容的要求
是：了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的
变化情况．本节课注重在函数的图象与性质的学习中，培养学生的探究能力，渗透科学的研究问题的方法（研究函数性质与图象的一般方法），努力使学生由“学会”向“会学”转变．同时借助信息技术（图形计算器）辅助学生探究，帮助学生揭示规律．这与新课标倡导“积极主动、勇于探索”的学习方式，注重提高数学思维能力，注重信息技术与数学课程的整合等精神相吻合．
此外，课堂上注重体现以人为本的原则，结合学生的能力基础（建构理论）、结合教材的特点（难易度），在教师引导的基础上设计了“必选”和“自选”环节，这样既突出重点，又照顾到不同层次的学生，对提高学生思维能力大有好处．
二、本节课的教学框架：
1、类比指数函数的概念引导学生观察归纳得出幂函数的概念； 2、通过设问启发学生思考如何研究一类未知的函数；
3、让学生从熟悉的5个具体幂函数出发，结合图象来观察、归纳幂函数的性质； 4、让学生继续取
的其它数值进行研究，抓住学生展示的结果进一步归纳幂函数的性质；
的变化而变化的情况，使学生对幂函数有一个整体的
5、演示幂函数的图象随着幂指数认识；
6、通过例题巩固对知识的理解与掌握，同时体验成功的喜悦； 7、师生共同小结，归纳思想方法。
新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高数学思维能力，注重信息技术与数学课程的整合等理念在本节课中得到了比较充分的体现．
三、本节课的主要特色：
1、敢于放手让学生自主探究，舍得花时间．课堂上留给学生充分的时间加以探究，让学生动手操作、相互讨论，共同研究．当学生充分参与到教学过程中时，对知识的理解才会达到一定的深度．
2、恰到好处地应用现代信息技术：
（1）通过实物投影展示学生作品能及时反馈学生的情况；课堂上教师及时展示学生的探究结果，及时反馈教学情况，并通过对典型错误的纠正使学生对于知识的理解达到一定深度．
（2）教师演示课件虽然简单，但正好与学生的归纳形成很好的对照，对突 破难点起到了很好的作用，同时对学生课后继续研究提供引导．
3、除运用技术辅助，从图象角度观察归纳以外，也关注从函数解析式或函 数性质本身进行研究，分别从形、数两个角度加以印证，更好地揭示数学本质． 4、课堂上教师灵活应变，变现了较好的基本素质。在归纳的过程中，不仅
不怕学生提出问题，反而灵活地抓住这些问题展开教学，如学生提出的奇偶性问题，教师迅速“捕捉”这一信息，注意到其普遍性，因势利导，引发学生集体关注，产生良好的教学效果．
5、教学体现对不同学生的不同要求：
（1）熟悉图象的学生自己描点画图，不熟悉的借助图形计算器画出图象，不强求一致，能使学生较快地观察图象归纳性质，体现对不同学生有不同的要求．
（2）根据学生层次差异较大，设置必选环节和自选环节，调动学生的积极性，满足不同层次学生的需求．
思考与活动
1．请尝试构建函数的概念与性质的知识结构框图，可参考教科书中的分章结构图，明确函数的概念与性质的结构体系.
2．思考下述问题：已知实数满足等式，下列五个关系式：
①； ②； ③； ④； ⑤.
其中不可能成立的关系式的序号为________ .
参考答案：③、④
思考：本题考查的知识点有哪些？解答本题的过程中用到哪些数学思想？用到哪些具体方法？对于本题给出一般性的结论.
3．针对“函数的概念”这节课写一份教学设计，并完成教学实录.学员分组进行教学设计的交流与反思，并对教学实录中的各重要教学环节展开评述，重点放在对教学目标的达成以及教学方法的选择上.最后分别完成本节课的教学反思.
参考资料
【相关资源】