BC=AB﹣AC=R，
2
2
2
2
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=
R，
2
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，
×R=，
2
∴VP﹣ABC=×R×即
R=9，R=3
3
3
，
3
所以：球的体积V球=×πR=×π×3故答案为：
=4
π．
点评： 本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．
43. 44.6
【考点】简单组合体的结构特征． 【专题】计算题；作图题；转化思想．
【分析】画出正六面体、正八面体及内切球，设出半径r1与r2， 利用体积求出两个半径的比，然后得到m?n．
【解答】解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2， 再设六面体中的正三棱锥A﹣BCD的高为h1， 八面体中的正四棱锥M﹣NPQR的高为h2，如图所示
则h1=
a，h2=\\frac{\\sqrt{2}}{2}a．
∵V正六面体=2?h1?S△BCD=6?r1?S△ABC，∴r1=h1=\\frac{\\sqrt{6}}{9}a． 又∵V正八面体=2?h2?S正方形NPQR=8?r2?S△MNP，
a=2
3
r2a，r2=\\frac{\\sqrt{6}}{6}a，于是
2
是最简分数，
即m=2，n=3，∴m?n=6．
【点评】本题考查简单几何体的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是难题．
45.
考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 由题意四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．
解答： 解：四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径， 所以R=
所以球的体积为：故答案为：
．
=1，
．
点评： 本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．
46.20π
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r=2+x=1+（3﹣x）
2
2
2
2
2
，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．
2
2
2
2
解答： 解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r=2+x=1+（3﹣x），
2
所以x=1，
所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr=20π．
2
故答案为：20π．
点评： 本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关
键．
47.π
考点： 球内接多面体．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 确定∠ABC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到
平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积． 解答： 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则
，
∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，S△ABC==2
∴2r=
∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为， ∴D到平面ABC的最大距离为设球的半径为R，则1=
，
22
，
），
×（2R﹣
∴R=
∴球O的表面积为4πR=故答案为：
π．
π．
点评： 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．
48.3π
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．
解答： 解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，
三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，
．
∴球的半径R==
球的表面积为：4πR=4π?（故答案为：3π．
2
）=3π．
2
点评： 本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．
49.2 50.8π
【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，推出底面中心到顶点的距离为球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，对角线的长为2
，如图，
因为P﹣ABCD是所有棱长均为2的正四棱锥，所以△PAC与△DPB都是等腰直角三角形，中心到P，到A，B，C，D的距离相等，是外接球的半径R，R+（∴球的表面积S=4π（故答案为：8π．
）=8π．
2
2
）=2，解得R=
22
，
【点评】本题给出正四棱锥的形状，求它的外接球的表面积，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．
51.R 【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由球截面圆的性质，当截面是以AB为直径的圆时，球心到过A、B两点的平面的距离最大．设D为AB中点，OD即为所求． 【解答】解：两点A、B间的球面距离为
，∴∠AOB=
．[来源:学_科_网]
设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离．
D为AB中点，则OC≤OD，当且仅当C，D重合时取等号．
R．
在边三角形AOB中，OD=
故答案为：
R．
【点评】本题考查球面距离的概念，点面距的计算．分析出何时区最大值是关键，考查了空间想象能力、推理论证、计算能力．
52.
考点：球内接多面体．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形
的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD
垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．
解答： 解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，结合O1C?平面ABC，可得O1O⊥O1C， ∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1， ∴Rt△O1OC中，O1C=
=
．
．
又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=
．
∴Rt△OO1D中，OD==
∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，