∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=故答案为：
==，可得截面面积为S=πr=
2
．
点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．
53.
54.【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．
【专题】转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用． 【分析】（Ⅰ）由?=，得范围0＜C＜π，即可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB．从而可得b﹣a=
，可得
围．
【解答】解：（Ⅰ）由?=，得
，…
∴
∵0＜C＜π， ∴
．…
，且
， ，即
，…
，…
，由
，化简可得
，结合
，利用余弦函数的图象和性质即可解得b﹣a的范
（Ⅱ）∵
∴
，
∴a=2sinA，b=2sinB．… ∴b﹣a=2sinB﹣2sinA===∵∴
，
，
，… ．…
，…
=
…
…
∴∴
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量共线的性质的应用，考查了余弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
55.【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．
=，…
【解答】解：（Ⅰ）∵由已知得cosA=又∵∠A是△ABC的内角， ∴A=
．…
=
（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，… ∴sin2A=sin2B．… ∴2A=2B或2A+2B=π．… ∴A=B或
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
56.【考点】余弦定理的应用．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．
（2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可． 【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0 可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0 即：sinA﹣acosC=0． 由正弦定理可知：∴
∴asinC﹣acosC=0， sinC﹣cosC=0，可得∴C=
．
2
2
2
，
，
sin（C﹣
）=0，C是三角形内角，
（2）由余弦定理可知：c=a+b﹣2abcosC， 得1=a+b﹣
2
2
ab
又
，
，
．
时，a+b取到最大值为2+
2
2
∴即：当
．
【点评】本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．
57.【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a+b﹣c=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．
2
2
2
（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可求值得解． 【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）﹣c=3ab，变形可得：a+b﹣c=ab，
2
2
2
2
2
由余弦定理可得：cosC=∵C∈（0°，180°）， ∴C=60°…6分 （2）∵c=
，b=
，C=60°，
=，
∴由正弦定理可得：sinB=又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，
==
，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC=
…12分
=
，
∴S△ABC=bcsinA==
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
58.【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（1）将f（x）化简成y=Asin（ωx+φ）形式，带入周期公式求出； （2）利用正弦定理将条件化简得出C，根据f（）取最大值求出B，然后解三角形． 【解答】解：（1）f（x）
2
2
=
．
=+=1+sinxcosx+cosx=1+sin2x+cos2x+=sin（2x+）
+1+
∴f（x）的最小正周期T=
=π．
（2）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC． ∴cosC=．∴C=
．
f（）=sin（B+大值，
）+1+．∵0＜B＜，∴当B+=，即B=时，f（）取得最
∴A=．∴b=c?tanB=1，∴S△ABC==
．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与求值，正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
59.解析：在中，由余弦定理知，故．
．．．．．．．．．．．．3分 所以
=分
．．．．．．．．．．7
故的最大值为，此时与夹角为．
的最小值为
． ．．．．．．．．．12分
，此时与夹角为
60.（Ⅰ）由
又
，得，代入得
，
，
由，得
，
，
得，
（Ⅱ）
，
，，则