7.1 向量的概念和向量的几何表示
【教学目标】
理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念； 掌握向量的几何表示，会用字母表示向量； 理解向量组共线、不共线的概念． 【教学重点】
向量、相等向量、共线向量的概念，向量的几何表示． 【教学难点】
在复杂的几何图形中分清各向量相等、共线的关系；向量与数量的关系． 【教学方法与思路】
通过十分有趣的实际问题说明现实生活中有些量既有大小又有方向，从而引入向量的概念；通过学生自学、回答教师问题的方法，使学生理解向量的概念及向量的几何表示；通过教师精讲、学生解决实际问题，使学生理解相等向量、共线向量的概念；最后通过总结提炼和引申，使学生明白向量和数量的区别，有一个关于向量的总的印象．
【教学过程】 一、情境设置
1．如图，老鼠由A向西北方向逃窜，如果猫由B向正东方向追，那么猫能抓到老鼠吗？为什么？
B· A·
2．现实世界是丰富多彩的，描述现实世界的量有的只有大小没有方向，有的既有大小
又有方向．现实生活中哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
既有大小又有方向的量：力、速度、位移等，只有大小没有方向的量：温度、长度、重量、面积、体积等．我们把既有大小又有方向的量叫做向量．今天我们就来学习向量的概念和向量的几何表示（板书大标题）．
二、学习新课
1． 向量及有关附属概念的学习
（1）请大家翻开课本第3页，阅读第3页至第4页“观察”以上内容．
（2）讨论总结：这一部分都有哪些概念？包含哪些知识点？ 向量：既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）． 记法：用黑体小写英文字母表示向量． 手写：a，b，c，…；力F
几何表示：用带有一个箭头的线段（称有向线段）直观地表示向量．
A aa C B a D
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例：（如图）AB的长度表示a的大小，记a；AB的箭头指向表示a的方向．将有向线段AB平移得到有向线段CD，有向线段AB和有向线段CD是两条不同的有向线段,它们表示同一个向量a．
向量的两个要素：大小和方向．
相等的向量:大小相等且方向相同的向量叫做相等的向量． 几何表示：用长度相等并且方向相同的有向线段表示相等的向量．
零向量：长度为零的向量，记做0，它的方向不确定．也可记为AA或BB． 单位向量：长度为1的向量．（问：单位向量是相等向量吗?）
a负向量（或a的反向量）：与非零向量a长度相等且方向相反的向量称为a负向量 （或a的反向量）．记：- a 规定：0的负向量为0．
问：向量BA与AB有什么关系？ 2． 共线向量
操作：任画三个方向相同或相反的向量，将三个向量平移到同一起点的位置，你能得到什么结论？（三向量在同一条直线上）
定义共线向量：如果一组向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，像这样的一组向量称为共线的；否则称为不共线的．
零向量与任一向量共线．
a与b共线的充分必要条件是：a与b的方向相同或相反，或者有一个是零向量． 不共线向量举例：
三、知识运用
BA??AB b a
例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的向量，以及AB的负向量． 分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线段．负向量即方向相反、大小相反的向量，
用有向线段表示，即为方向相反，长度相等的有向线段． 解： AB =DC ， - AB= BA = CD. 例2 上图中，与向量AD 共线的非零向量．
分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的非零向量． 解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．
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注意：两个长度相等、方向相反的向量互为反向量，也是共线向量．找共线向量时，防止遗漏其中一个．
例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中满足下列条件的向量： （1）与向量OB相等的向量； （2）向量OB的负向量； （3）与向量OB共线的非零向量． （由学生口答） 例4 判断正误：
（1）共线向量一定方向相同或相反． （ ） （2）不共线的向量一定不相等． （ ） （3）与任意向量都平行的向量只有零向量． （ ） （4）共线向量一定在同一条直线上． （ ） （5）共线的向量一定可平移到同一条直线上． （ ） 四、总结提炼延伸
（1）向量不同于数，它是一种新的量，关于它的概念比较多，我们今天就着重学习了向量、零向量、单位向量、负向量、相等向量、共线向量等概念．
（2）描述一个向量有两个要素：长度和方向．
（3）共线向量也称为平行向量，它类似于平面几何中的平行线，但它不是平行线概念的简单移植，共线是指方向相同或相反的一组向量，它与长度无关，与是否真的在一条直线上无关．
（4）向量不同于数量的一个显著特征是，向量有它自己的运算系统：加、减、实数和向量的积、向量的数量积等运算，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用．关于向量的运算也是我们今后要学习的重点．
五、布置作业：
C D O E B A F 7.2 向量的加法与减法
目标要求：掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则；
会运用向量加法的定义和运算法则进行向量的加法运算．
教学重点：向量加法的三角形法则，向量加法的运算法则的运用． 教学难点： 向量加法定义的理解． 教学方法与思路：
通过实例抽象出向量加法的定义，分析定义的要点使学生理解三角形
法则，并会用公式形式表达出来，在例题中得出向量加法的平行四边形法则，通过一定量的
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练习使学生熟练运用三角形法则和平行四边形法则求和向量，熟练运用定义和运算法则进行向量的加法运算． 教学内容与教学过程：
情景设置
请同学们看这样一些问题：（多媒体演示）
1．如图(1)，某人从A到B，再从B按原来的方向到C，则两次位移的总效果AB+BC应该是 ；
2.如图(2)，飞机从A到B,再改变方向从B到C，则两次位移的总效果AB+BC应该是 ；
3.如图(3)，船的速度是AB，水流速度是BC，则两个速度的和AB+BC应该是 ．
C A B C A B A B C
（1） （2） （3）
学生回答完问题后，教师总结：从这里看出，两个向量的和向量仍是一个向量．我们这节课就来学习向量的加法（板书大标题），请同学们根据刚才的问题思考如何定义向量的加法运算？
讲授新课
1、向量的加法运算定义
对于向量a，b，任取一点A，作有向线段AB表示向量a，接着以AB的终点B为起点作有向线段BC表示向量b，则有向线段AC表示的向量c称为a与b的和，记作c=a+b．
2、分析定义要点：
(1)作法上：作和的两个向量首尾相连，以第一条有向线段的终点作为第二条有向线段的起点，则从第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段就表示和向量．可编成口诀如下：
“首尾相连补成三角形， 和向量的方向就确定
——起起终终．”
(2)向量a与b的和，与初始起点的选择无关．
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C b A a c
b B a
上述关于向量加法的定义称为向量加法的三角形法则．
(3)公式：AB+BC=AC，
特点：第一个向量的终点与第二个向量的起点是同一个点． 应用：①从左向右，可求出和向量；
②从右向左，可把一个向量分解成两个向量的和．
3、定义应用及延伸
例1 如图，ABCD是平行四边形，求AB+AD。
Q B A P D A B C （学生口答，多媒体演示规范解题过程．）
由此抽象出向量加法的平行四边形法则：求不共线的两个向量a，b的和，可以从同一起点A作有向线段AB，AD分别表示a，b，然后以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则有向线段AC就表示a+b，其中AC是对角线．这种求不共线的两个向量的和的方法称为向量加法的平行四边行法则． 练习1
1.如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则作a+b.
2.如图，已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作a+b.
（学生板演作法。）
4、向量的运算法则
b a b b a b a a (1) (2) (3) (4)
b a
b a
(1) a+b=b+a （交换律）
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