8．4 直线方程的一般式
教学目标: (一) 知识目标
⑴ 明确直线方程的一般式的形式特征。 ⑵ 会根据直线方程的一般式求直线的方向向量。 ⑶ 会根据直线方程的一般式求直线的斜率和截距。 （二）能力目标
使学生认识到考虑数学问题时一定要全面、周密、仔细， 分类讨论、转化的数学思想是重要的数学思想方法。 （三）德育目标
认识事物之间的普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题。 教学重点:
能从直线方程的一般式方程写出直线的一个方向向量.会把直线方程的一般式方程化成斜截式,并求出它的斜率和它在y轴上的截距. 教学难点: 直线方程的一般式的推导过程 教学方法: 启发式，讲练结合 授课类型: 新授课 课时安排: 1课时 教具:多媒体 教学过程: 一、复习提问：
前面我们学习了直线方程的五种特殊形式，请同学们回忆一下，它们的名称各是什么？方程形式如何？确定的条件是什么？有什么限制条件？ （请同学回答，内容如下） 序号 1 方程名称 点向式 确定条件 已知直线的一个方向向量?方程形式 限制条件 任意直线 x?x0y?y0? v1v2v?v1,v2?和一点y—y0 =k（x—x0） k存在 k存在 y1≠y2且x1≠x2 （x0，y0） 2 3 4 点斜式 斜截式 两点式 已知斜率k和点（x0，y0） 已知斜率k和它在y=kx+b y轴上的截距 已知两点（x1，y1），（x2，y2） y?y1x?x1? y2?y1x2?x1第 36 页 共 159 页
5 截距式 xy??1 aby轴上的截距a、b 已知直线在x轴、a?b?0
由上表可知，直线方程有五种不同的形式，但是2—5都有限制条件，只有直线方程的点向式适用于任意一条直线，并且上述方程均为二元一次方程。那么，平面直角坐标系内任何一条直线与二元一次方程之间关系如何呢？ 二、讲解新课：
1. 法向量：
在平面上取一个直角坐标系xoy，设直线L的一个方向向量为v?v1,v2?,考虑向量
??n?v2,?v1?，如图（一）所示,v1v2+v2（—v1）=0，因此v?n，我们把平面上与直线L
???的方向向量垂直的非零向量称为直线L的一个法向量，因此向量n是L的一个法向量。
yvon
LyMM0Lvnxxo（二）(一）2 直线方程一般式
如图（二）所示，设直线L经过一点M0 （x0，y0），一个方向向量为v?v1,v2?,则n?v2,?v1?是L的 一个法向量，我们有：
点M（x，y）在直线L上
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??
?
M0M?n
??? v2（x—x0）+（—v1）（y—y0）=0 ? v2x—v1y+（v1y0—v2x0）=0 ? Ax+By+C=0，
其中
A =v2，B=—v1，C=v1y0—v2x0
上述表明，平面上每一条直线L的方程是二元一次方程
Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零）
反之，任意一个二元一次方程
Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零）
都表示一条直线，我们把上式称为直线L的一般式方程.
师生共同探讨:
① 任何一条直线的方程均为二元一次方程，那么方程x=1如何解释呢？
（x=1看起来是一元一次方程，但是在平面直角坐标系上讨论问题，应认为是关于x、y的二元一次方程，只是y的系数为零）
② 方程 Ax+By+C=0表示的图形，由A、B、C的值决定，只有A、B至少有一个不为
零时，方程Ax+By+C=0才表示一条 直线。
③ 由上面的推导过程可知，任何一条直线的方程均可化为一般式。 3 应用
由直线方程的一般式可以得到直线的一个方向向量为v??B,A?。 例1 写出下列直线的一个方向向量 ⑴ 3x—4y+1=0 ⑵ 2x+9=10 ⑶ 3y—7=0 ⑷ y=5x—3
已知直线的一般式方程如何化为直线方程的斜截式，并求出直线的斜率和在y轴上的截距。 例2
已知直线L的方程为3x—4y+5=0，求L的斜率和在坐标轴上的截距
三、课堂练习
由下列条件，写出直线方程，并化成一般式： 1、经过一点A（6，—4），斜率为?2、经过B（4，2），平行于x轴 3、斜率是－
?4 31，经过点C（8，—2） 23、—3 24、经过点A（—2，3），平行于y轴 5、在x轴和y轴上的截距分别是
6、经过两点P1（3，—2）、P2（5，—4）
（ 学生分组练习，第1小组做1、2题，第2小组做3、4题，第3小组做5、6题。）
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四、本节小结
1、 2、
问题简化． 五、布置作业
课本第59页 A组1、2 B组1、2、3
本节课我们学习了直线方程的一般式，并能运用直线 直线方程的一般式与其他五种特殊形式在一定条件下
方程的一般式求出直线的一个方向向量，斜率和它在y轴上的截距．
可以相互转化，在处理直线问题的过程中，我们要灵活的选择直线方程的各种形式，以便使
8.5平面上两条直线的位置关系
一、教学目标 (一)知识教学点
知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，会通过方程中的系数判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件． (二)能力训练点
通过研究两直线的位置关系与它们对应方程中的系数，培养学生的数形结合能力。 (三)学科渗透点
通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程中的系数关系，培养学生的转化思想． 二、教材分析
1．重点：两条直线的位置关系可以从方程中对应的系数关系进行判断。 2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．
3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明． 三、活动设计
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分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程
1．解下列方程组，你能发现什么问题吗？
?2x?3y?7?01.??3x?4y?1?0?x?3y?2?03.??2x?6y?4?0
?3x?5y?1?02.??6x?10y?5?02．思考平面上两条直线的位置关系有几种？
3．如何根据直线方程的一般式判断两直线的位置关系？ l1:A1x?B1y?C1?0 （A1，B1不全为零）
l2:A2x?B2y?C2?0 （A2，B2不全为零）
直线l1 的一个方向向量为 v1( -B1,A1) ，直线l2 的一个方向向量为 v2( -B2,A2) 。
直线l1 与直线l2平行或重合的充要条件是：它们的方程中一次项系数对应成比例。思考题
1．如何根据直线方程中的系数判断两直线相交？2．如何根据直线方程中的系数判断两
A1B1?A2B2直线重合？3．如何根据直线方程中的系数判断两直线平行？分析：1.方程组有唯一解直线
l1 与直线l2 相交的充要条件是：它们的方程中一次项系数对应不成比例。
2.有无穷多解
直线l1 与直线l2 重合的充要条件是：它们的方程中所有系数对应成比例。3.无解
A1B1C1??直线l1 与直线l2 平行的充要条件是：它们的方程中一次项系数成比例，但是常数项A2B2C2A1B1C1??A2B2C2不与一次项系数成比例。 例1 判断平面上下列各对直线的位置关系：(1）3x-5y+1=0与 6x-10y+5=0；
（2）x+3y+2=0与 2x+6y+4=0； （3）2x-3y+7=0与 3x-4y+1=0。
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