x?f（t）?t2x??t2取
则有
t2R2?（x?）2t2R2?（x?）2
f（0）?0
f?（0）?3（R2?x2）2
R2所以
?P?f（0）?f?（0）t?i?E?2?0
PR2t??（0?）i32?0（R2?x2）2?PR2t2222?（0R?x）3?i
电位移矢量为
???D??0E?P?P（1?R2t（2R2?x2）23?）i
4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为?，结外电荷体密度??x??0，结内电荷的体分布为??x???ekx -a?x?a,线性缓慢变结式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出??x?、E?x?和??x?随x变化的曲线。
解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点x'处取宽度为dx'的无限大平面，该平面电荷密度为
该带电平面在结内P点产生的场强为
、、??????x、?dx、n区P区++--??x?dx?++-dE??-++-2?0?r2?0?r --BPO?a++--OB区电荷在P点产生的场强为
- +++-- + + +--a1、、EBO??dE?ekxdxdx?02?0?r 图4-1
?
Aax12a?x、|02?0?r2
ekeka2? 4?0?r
所以
OP区电荷在P点产生的场强为 图4-2
?eka2?EBO?i4?0?r
1EOP所以
ekx2?ekxdx?2?0?r?04?0?r
x、、
PA区电荷在P点产生的场强为 图4-3
?ekx2?EOP??i4?0?r
12?0?rek4?0?rek4?0?raEPA??所以
?xekx、dx、(a2?x2)
图4-4
由叠加原理得P点的总场强为
2222ekaekxekaekx????????EP内?EBO?EOP?EPA4?0?r4?0?r4?0?r4?0?r
ek?(?a?x?a)?(a2?x2)i2?0?r
场强随x变化曲线如图4-3所示
?EPA??(a2?x2)i由高斯定理知，结外的场强为
?EP外?0 , x?a在结内任意点P的电势为
当?a?x?a 取x?0,??0
?P内??EP内dx??x00ek2?0?rx?a2?x2dx? ?ek?213?0ekx3a2?x2?ax?x?|x??2?0?r?3?6?0?r
??当x?a时,电势为?P外1??0ek2?0?ra?a2?x2?dxek?213?0eka3 ??ax?x?|a??2?0?r?3?3?0?r当x?a时电势为?P外2?? ?0ek2?0?r?a?a2?x2?dx电势随x变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随x变化曲线如图4-2所示。
5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为?，如果电荷的体分布为
ek?213?0ekax?x|????a2?0?r?3?3?0?r
?x??NDe
p区：??x???NAe
n区：?（突变结）
式中ND,NA是常数，e为电子数且NAxp?NDxN，其中xp和xn各为p区和n区的厚度，试求结内电场强度和电势的分布并画出??x?、E?x?和??x?随x变化的曲线。
解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点x处找一个考察点P，P点的场强由三部分即BO段、OP段和PA段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为???dx'
pn pn? xxx ?x?oBoABppA xnxpxpxn
图5-1 图5-2 图5-3
xdE?由
?dx'2?0得
?NDexnNDexnEBO?dx'?2?0?02?0 NexNeEOP??A?dx???Ax2?002?0 图5-4 xEPA
NAexPNAe??dx?(xP?x)2?0?x2?0
所以，P点的总场强为
EP?
NDexnNAeNe?xP?Ax2?02?0?0 Ne?A(xP?x)?0
Ex 图5-5
取原点电势为零，由电势定义得
?P??EPdx?x0在n区内取一点P，如图5-2所示 同理得各段在P点的场强为
NAex(2xP?x)2?0
EOAEOPNAexPNAexPNDexn?dx??2?0?02?02?0 Ne??Dx2?0EPB?所以，P点的总场强为
同理可得P点的电势为
NDe(xn?x)2?0
(xn?x)EP?NDe?0NDex(2xn?x)2?0
画出??x?、??x?和E?x?随x变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示
??6、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl，线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。 （1）求这电容器的电容C；
（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。 解：（1）建立坐标轴，如图所示 设?r?kx??r1 ， 0?x?d 则 由此得
OSxddx?r2??r1d ?r2?kd??r1 k?因此板间任一点的介电常数为
x
将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为x，厚度为dx一个电容元，该电容元的电容为
?r??r2??r1dx??r1dC??0?rsdx??0(?r2??r1ddxx??r1)s
其倒数为
积分得
?r2??r1x??r1)1dxdd??????dC?0(?r2??r1)s?r2??r1r1?0s(r2x??r1)x??r1dd
d(???r11dd?ln(r2x??r1)0C?0(?r2??r1)sd
dln?r2?r1? ?0(?r2??r1)s
所以
C??0(?r2??r1)sdln?r2?r1
(2)作一圆柱形高斯面S，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理量为
???D?dS?QS，得电位移矢
D?QS
??ED由与的关系和
为
E?P?0?r?????0?rS根据电位移矢量定义式D??0E?P得，极化强度
QP?D??0E?极化电荷体密度为
Q1Q?r?1Q??S?rS?rS
?Q1??r???S?r2?x ??'???P????1?QQ??1???r????x?x??r?SS?x??r ??正极板处的极化强度为
Qd??r2??r1???r2??r1?Q1?r2??r1Q????22S?r2dS??r2??r1S????x?d?????r1??r2r1d?x??r1??d?
Q1Q?r1?1Q??S?r1S?r1S
P1?D??0E1?板表面上的极化电荷面密度为
'??P?P1?n??P1??1负极板处的极化强度为
?r1?1Q?r1S
板表面上的极化电荷面密度为
P2?D??0E2???r2?1?Q?r2S