?1??d2l2x?x?ed?ed?e?d22??d?edx??ddx???x?l?d??0?x?????2?0?r4?0?r2?0?r?42?…… 2?0?r??带电层外任一点电势为
?2??l
??D、E、?随x变化规律曲线如图22-3所示
?D?E??d?d?l?dx???x??2?0?r?2?…… 22?0?rx12o图22-3
（4）取x=0代入?式得，带电层中心处的电势为
d2l2xoxox?ed?dl??e?d2??0????????2?0?r?22?2?0?r?4?
??edd2?e????l?d???4??8??0r? ?0r?6?10?3?3.33?10?262?10?6?3.33?10?2??3?12?6??10??????128?8.85?10?12?3.2??4?8.85?10?3.2(5)由⑧式得带电层外的场强为
??1.59?104V
(6)有机玻璃内贮存的静电能为
?ed6?10?3?3.33?10?2E??????3.53?106V/m?122?0?r2?8.85?10?3.2
11W??D1E1dV1??D2E2dV222 1d?2x21d2?22??dSdx??dV2?2?0?r24?0?r?2S?2?0?r1?d3d3?d2?2?S??l?d?????3?88?8?0?r22?2Sd3?Sd?l?d???24?0?r8?0?r2?4?42?6?33.332?10?4?25?10?4?63?10?93.33?10?25?10?6?10??12?6??10??24?8.85?10?12?3.28?8.85?10?12?3.2?352.4?10?5J??E0E 解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点O的场强是介质中场强和
?E极化电荷在轴线上O点的场强'的矢量和。极化电荷面密度为
???Pcos? （P'为极化强度，n为表面法线方向） ?'?P?n23、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为R。
设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。
如图所示，取一宽度为Rd?的无限长带电线，其上电荷线密度为 ???'Rd??PRcos?d? 该带电线在轴线上产生的场强为
ydE'???PRcos?d??2??0R2??0RP2??0cos?d?d????dE'x
极化电荷在轴线上产生的场强为
'E'?Ex??dEcos???02?2?zcos2?d??P2?0
P2??00??PE'?2?0所以轴线上一点的总场强为
??????P??0??r?1?E?r?1??E0?E?E'?E??E??E?E2?02?02
24、一平行板电容器两极板间距为d，其间放置一块厚度为t的介质平板，板面与极板成倾角?，介质的相对介电常数为?r，若两极分别带上面密度为??和??的电荷，试求两极板间的电势差。（设倾角为?较小，边缘效应可以忽略）
解：设两极板的边长为a和b的长方形，建立坐标如图所示，上、下两板一小面积dS?adx构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，其中一个是空气，另一个是介质，每个电容器中电容分别为
根据电容器串联性质得
?0adxd?tcos? ??adxdC2?0rtcos? dC1???d?tcos???tcos?111d?tcos?tcos??????rdCdC1dC2a?0dxa?0?rdxa?0?rdx
a?0?rdxdC??r?d?tcos???tcos?
C??dC?0b?0?rab?r?d?tcos???tcos?yb?r?
式中S?ab为极板面积 极板上电量为
?0?rS?r?d?tcos???tcos?
xdx
极板间的电势差为 图24-1
Q??S
oxU????d?tcos???tcos?Q??S?rC?0?rS??d?tcos???tcos???0?0?r
25、半径为R1的半导体球，一半浸没在相对介电常数为?r的半无限而均匀的液体介质中，另一半露在真空中，若此导体球所带的电量为Q，（1）证明：导体球外任一点的电场强度均沿求的径向；（2）求出导体球表面上的面电荷分布 解：（1）如果导体球外任一点的电场强度不沿径向则上半球和下半球表面电荷分布将不均匀。它们在球心处产生的合场强不为零，这与导体球内场强为零相矛盾。故球外任一点的场必沿径向
（2）导体球与无限远处构成球形电容器如图所示 根据球形电容器的电容公式有：
4??0R1R2 R2?R1
当R2??时 C?根据上式得半球形电容器的电容为：
本题中的球形电容器可看作是两个半球形电容器并联而成。其中一个是空气，别一个是介质，每个半球形电容器电容为
C?4??0R1
C?2??R1
根据电容并联性质得，电容器的总电容，总电压分别为
C1?2??0R1 C2?2??0?rR1
C?C1?C2?2??0R1??r?1?U?
两个半球形电容器所带电量分别为
QQ?C2??0R1??r?1?Q1?C1U2??0R1QQ?2??0R1??r?1???r?1?Q2?C2U?2??0?rR1?两个半球表面上的电荷面密度分别为
?QQ?r2??0R1??r?1??r?1
?1??2?Q1Q?2?R122?R12(?r?1)Q2?rQ?2?R122?R12(?r?1)
26、两导体球，半径均为R，球心间距为d，有一均匀电场E0，其方向垂直于两球心的联线，
假设R??d，球两球之间的相互作用力。
?解： E0 R?x
d R?x
图26-1 图26-2
p1rp2设导体球表面的感应电荷为余弦分布???0cos?，如图26-1所示，在球内产生的附加电
?'???E内??0i,令0?E03?03?0场为，则附加电场与外电场抵消（不考虑另一导体球感应电荷影
响），使球内场强为零满足静电平衡条件。由此得
在球外可将余弦分布的带电球壳等视为偶极子，如图26-2所示，其电偶极矩为
?0?3?0E0 ??3?0E0cos?
4P?P??R3?0?4?R3?0E0123 ??1在P2处产生场强 电偶极子P????3P?r??P?rP11E1?1??34??0r4??0r3 ????1?P2之间的相互作用能）为 电偶极子P2在E1中具有的电势能（P??PPW21??P2?E1?1234??0r
??两球间的相互作用力为
?3r2P??P1P21P2?Fr????36??r??4??0r?4??0r34?R3?0E0 ?4??0d4??227、一半径为R的导体球浮在某种介质溶液中，导体球的质量密度为?1，介质溶液的相对介电常数为?r，质量密度为?2，且?2?2?1，试用计算必须在此导体球上放置多少电量的电荷，才能使它正好有一半浸没在介质溶液中。
解：设导体球放置电量为Q的电荷时，它正好一半浸没在介质溶液中。导体球在介质溶液中受到三个力的作用即导体球自身的重力、导体球受到的浮力和极化电荷对它的吸力，如图27-1所示，处于平衡状态时，有
212??0R6E0??0为斥力d4
F浮?F吸?G……①
导体球所受浮力为
F浮??24?R3g2?3……②
导体球所受到的重力为
4?R3g3 图27-1
为了球极化电荷对导体球的吸力为F吸，先求极化电荷密度?p，导体球表面各介质表面电G??1荷分布如图27-2所示，作球面为高斯面，根据高斯定理得
???????D?dS??D1?dS??D2?dS?QS1S2
D1?2?r2?D2?2?r2?QD1?D2?D1tD2tQ2?R2……④ 图27-2
在介质交界面上有
?0?0?r D1t?D1由④、⑤式得
?D2t?D2
D1?r?D2……⑤
D2?E2??rQ1??r2?R2D2?0?r?Q?0(1??r)?2?R2P2?D2??0E2?极化电荷密度为
?r?1Q?r?12?R2
?p?Pn??r?1Q?r?12?R2……⑥
极化电荷为半球面分布，在球心处产生的场为
E??P?r?1Q?4?0?r?18??0R2……⑦
极化电荷对导体球的吸力为
?r?1Q2F吸?QE??r?18??0R2……⑧
将②、③、⑧式代入①式得
整理得
?r?1Q24433?2?Rg??1?Rg?2?33?r?18??0R2 43?2?r?1Q2?Rg（??1）?32?r?18??0R2
?r?1322???0gR5(2??1)?r1132
28、有一半径为a,相对介电常数为?r的均匀介质小球，与另一半径为b，电势为?0的导体
Q2?小球相距为r(r>>a、b)。求介质小球受力的近似表达式。