?D?所以
34??R2?R13?r324???r3?R13?43??R2?R13?33Q?r3?R13?
QQr3?R13QE???33?0?r4??0?rR2?R13r24??0?rR2?R13当r?R2时
D???????R13???r?r2????
D?所以
Q4?r2
E?Q4??0r2
13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为d.BC之间充满相对介电常数为?r的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q，试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。
解：A、B板和B、C板各组成电容器，其电容分别为
C1??0Sd
C2??0?rSd
取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理
?S??D?dS?Q得
由D的法线连续性 D1=D2=D得
D1S?D2S?Q
Q2S
?D??再根据 D??0?rE得
QQE1?E2?2?0S2?0?rS
U1?E1d?由此可得AB之间和BC之间的电势差为
A、B极板所带电量为
QdQdU2?E2d?2?0S 2?0?rS
Q1?U1C1?B、C极板所带电量为
?0SQdQ?d2?0S2 ?0?rSdQd2?0?rS?Q2
Q2?U2C2?由电荷守恒定律知
A 、C板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。
14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E的大小为220V/cm，其方向
?是指向瓷板且与它的表面法线成45角。设瓷板的相对介电常数?r?6.0，求：（1）瓷板中
的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。
解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为??P，如图13-1所示。 在板内，极化电荷产生的电场强度为
EP???P?n?0……①
?为表面外法线方向上的单位矢量 式中n根据场强叠加原理，板内的电场强度为
以上三者关系如图13-2所示，由图可知
22E?EP?E0?2EPE0cos(1800?450)……②
?n??E0?P?PE?EP?E0
极化电荷电密度为
???????0(?r?1)E??0(?r?1)(EP?E0)?n? 图13-1 ?P?P?n?p??0(?r?1)(??E0cos??0??(?r?1)?p??0(?r?1)cos?
整理上式得
?r450?P??
将已知数据代入③式得
?0(?r?1)E0co?s?r ……③
E0EP8.85?10?12(6?1)E?P??200?200?102V?cos450m6 图13-2
?1.04?10?7C2m
1.04?10?721.04?10?7222E?()?(200?10)?2??200?2 8.85?10?128.85?10?12E?138.1?106?200?106?332.3?106?1.83?104Vm
15、在相对介电常数为?r的煤油中，离煤油表面深度h处，有一带正电的点电荷q，如将
煤油看作为无限大均匀介质，：求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A点处的极化电
B；荷面密度??A；（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度??（3）煤
油表面极化电荷的总量Q?。 解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得
在空气中
E空n在煤油中
E油n??Aq??4??0?rh22?0
??Aq??4??0?rh22?0
D空n?D油n，即?0E空n??0?rE油n，得
ABh?qr由边界条件
整理上式得
????qA???（?A）r222?04??0?rh4??0?rh2?0
q??A?2）同理，B点附近的液面两边场强法向分量为
?r?1q?r?12??rh2 E空n?E油n在空气中在煤油中
?h?B?4??0?rr2r2?0
?qh?B??4??0?rr2r2?0
q由边界条件D空n?D油n，得
q4??0?rr2???B?整理上式得
??h?Bqh?B???（?）rr2?04??0?rr2r2?0
3）以A点为圆心，在液面上距A为x处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显
?r?1qh??r?12??rr3
2122（x?h），小圆环面积ds?2?xdx，小圆环上极化电荷为 然r?dQ????ds?
?r?1qh?2?xdx?r?12??rr3
qhxdx2?（rx?h）
322? 所以
s?r?1??r?1Q????ds???0?r?1qhxdx3222?r?1（x?h）
?16、两个相同的空气电容器，电容都是900uF，分别充电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数?r=2.0），再将两电容并联。
（1）求一电容器浸入煤油过程中能量的损失； （2）求两电容器并联后的电压； （3）求并联过程中能量的损失。 （4）问上述损失的能量到那里去了？ 解：（1）电容器极板上的电量为 Q?C0U?900?10?900?81?10C 电容器在空气中的储蓄的能量为
?6?2?r?1q?（） r?r?11Q21812?10?4W0???182.3J?62C022?900?10
能量损失为
?W?W??W0??182.2J
（2）并联后总电容为
并联后总电量为
C?C0??rC0?（1??r）C0
所以并联后电压为
Q总?2Q
2Q2?81?10?2U????600V?6C（??1）C（2?1）?900?10r0
Q总 （3）并联前的能量：
并联后的能量：
1Q21Q2W前???364.5?182.3?546.8J2C02?rC0
11CU2?（1??r）C0U222 1?（1?2）?900?10?6?6002?486J2
W后?并联过程中的能量损矢为
?W?W后?W前?486?546.8??60.8J
4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。
17、一平行板电容器的极板面积为S，间距为d（d2< 解：（1）t?0时刻，极板上的电量仍然为Q，由高斯定理知，此时板内电位移矢量为 Q和-Q，然后撤去电 源。试求：（1）t=0时刻介质内的电场强度；（2）t=t时刻介质内的传导电流；（3）t=0→t= D???电场强度为 QS E?D （2）由欧姆定理的微分形式知，t时刻有 ?0?r?Q?0?rS j??E IdqI?j?dt S，而其中 所以 S?Qd?r??QIq???S?0?rS ?由初始条件t?0，q?Q，解微分方程得 dq??qdt?0?r ?q?Qe?t?0?r 所以t时刻介质内的传导电流为 （3）由焦耳定律得 dq???0?rtI??Qedt?0?r ?d??Q2dQ?IRdt???S???0?r所以介质释放的总焦耳热为 ???0?rt?dt?e? 22?Q???0d??Q??S???0?r???0?rt?dt?e????0?rt??|0?e?22?22? 18、一个圆柱形电容器的内圆筒的半径为R1，外圆筒的内半径为R2，筒长L>>R2，在R1和R3???d??Q? ??0r2??S???0?rdQ2 ?2?0?rSR1R2之间的空间填满长为L、相对介电常数为?r的圆筒形均匀电介质，其余的容 积是空气间隙，如图18-1所示。假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U，试求将介质圆筒抽出该电容器所需作的机械功？ 解：把圆住形电容器看成两个电容器串联而成，如图18-2所示 根据圆柱形电容器电容公式 C?2??0?rLlnR3R1知，每个电容器电容为 C1?根据电容器串联性质得 2??0?rL2??0L C2? R3R2lnlnR3 R1Rln3R1RR232RR3R1R1R2lnR3111????CC1C22??0?rL2??0L 图18-1 ?r所以，总电容为 C?当介质抽出x距离时，如图18-3所示，把电容器看作两个电容器并联，如图18-4所示 其中 2??0?rLC2C1R3R2ln??rlnR1R3 图18-2 所以 2??0?r?L?x?RRln3??rln2R1R3 2??0xC2?Rln2R1 C1?R2R3R1L?XX