' ?P?P2?2??r2?1?Q ?r27、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r处介质的相对介电常数?r??A?r?r（A为常数）。如果内球带电荷Q，外球壳接地，试求：
（1）在电介质中离球心为r处的电势；
（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度； （3）介质中极化电荷的总量。
S
?S解：（1）根据对称性，以球心为心，r为半径在介质内作球面（高斯面），由D的高斯
定理得
S??2D?dS?D?4?r?Q?所以
?0?r
因球壳的电势为零，故有 ?r??E?dr??rbbrQ4?r2DE??D?Q?4??0?rr24??0?A?r?r
Qdr4??0?A?r?rQbQa?r1??1???dr4??0A?r?rA?r?Q?bb?A? ?ln?ln??4??0A?rr?A? ?bQ ?Q4??0Aln(2)半径为a球面上的极化强度为
b?r?A??b?A?r
QQQ??4?a24??0?A?a?a4?a2该表面上极化电荷面密度为 Pa?Da??0Ea??Pa??P??QA4?a2?A?a?
?a?QA??1????A?a??4?a2?A?a???
半径为b的球面上的极化强度为
Pb?Db??0Eb?该表面上极化电荷面密度为
QQQ?b?QA??1????4?b24??A?b?b4?b2?A?b?4?b2?A?b?
?Pb?P?半径为r球面上的极化强度为
QA4?b2?A?b?
Pr?Dr??0Er?介质内极化电荷体密度为
QQQA1??4?r24??A?r?r4??A?r?r2
??????P
'r2?r'???2?r2Pr??Pr?sin?P????????22???r?rrsin???rsin???r?r4?A?rr???????1?1?1??1??QA1? ?QA4?r2?A?r?22(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即
QP??Pa?4?a??Pb?4?b???'r?4?r2dra2b
bQAQAQA222?4?a??4?b???4?rdr222?2a4?a?A?a?4?a?A?b?4?r?A?r?
QAQAQAQA??????0????A?aA?bA?bA?a
??8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一
6层石蜡。设球的半径为1cm，空气的击穿场强为2.5?10V/m，石蜡的击穿场强为
1.0?107V/m，其相对介电常数为2.0，问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少？
其中球的电势之值是多少？
解：设金属球带电量为Q，由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为
QE1? ? ?r?r?r1 224πε0εrr……①
E2?
取r?r1，r?r2代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为
Q ?r?r2?24πε0r……②
r1r2Q4πε0εrr12……③ QE2?4πε0r22……④ E1?由③式和④式联立得
4πε0εrr12E1εrr12E1r??4πε0E2E2……⑤
22Δr?r2 ?r1?r1?rE1?r1E2……⑥
将已知数值代入⑥式得 由电势与场强积分关系得
?r?22?1cm
r2??????E1?dr??E2drr1r2
?max??r2Q4??0?rr2r1dr???Q4??0rr2dr?2?11?Q1????4??0?r?r1r2?4??0r2……⑦ Q2Q?4???rE1代入⑦式得 0r1将
??r12E1??1?12???rr1E1r2?r2 ?11???1??1??r12E1???r??r12E1??r?r2?……⑧ ?r1r2r2??r1?1?r1将已知数据代入⑧式得
??1?10?14?1?10?17??2?5??1??10V???4??
12?1????222?10?2? ?1?10?9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R1，与它同轴的外圆筒的内半径为R2，长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R，它们的相对介电常数分别为?r1和?r2，设两导体圆筒之间的电势差?1??2?U略去边缘效应，求：介质内的电场强度。
解：设充电后，单位长度的电量为?，由对称性和介质中的高斯定理得
???D?dS?D?2?rL??LSD?2?r ??由D与E的关系得两介质内的场强分别为
?
RR1E1?E2??2??0?r1r……①
L?2??0?r2r……②
R1R2圆筒之间的电势差为
R1R1??U??E1?dl??E2?dl?dr?drRR2??0?r1?Rr2??0?r2?Rr
?RR2?lnR2?R???R1lnR??? ?ln?ln??2??0?r1R12??0?r2R2??0??r1?r2?????……③
R221由③式得导体圆筒电荷的线密度为
??2??0URRlnln2R1?R?r1?r2……④
将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为
E1?U?r1r1lnR?1lnR2?RR2?ln?Rln??r1R1?r2R1R?r?r1???r2???r1????1UE2??r2r1lnR?1lnR2?r1R1?r2R
10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数?r1??r2??r3的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为?。试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？
解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为
?1U???D?dS?D?2?rL??LS?r3?r2?r1?2?r ??根据D??0?rE知，介质中离轴心分别为r处的电场强度为
D?abcd? ?a?r?b?2??0?r1r??b?r?c? E2?2??0?r2r??c?r?d?E3?2??0?r3r
（2）当r分别等于a、、b、时，各层电场强度为极大值，其值为
? E1max?2??0?r1a
? E2max?2??0?r2b ?E3max?2??0?r3c
（3）当E1?E2?E3时，有
E1?111???r1r1?r2r2?r3r3
所以?r1r1??r2r2??r3r3??rr?常数时，E?常数
11、平行板电容器的两极板相距为a，极板面积为S，两极板之间填满电介质，绝对介电常数按下列规律变化???0?x?a?/a，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面上，若已知两极板间电势差为U，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。 解：在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器，其元电容为
其倒数为
??x?a?SdC?0adx
oU???0?x?a?aSa1adx? dC?0?x?a?S
积分得
1aa2aa?ln?x?a?|0?lnC?0S?0Sa ?所以
xaln2?0S
C??0Saln2
极板上的自由电荷 为
qf?CU??0Ualn2
由如图虚线所示作高斯面，由高斯定理得板内的电位移矢量为
D??f?E?D?qfS??0Ualn2 ?板内的场强为
?0U?aln2??0?x?a??aln2a?0U?U?x?a?ln2
板内的极化强度为
P?D??0E??0Ualn2??x?a?ln2?0U??0U?1在x?0介质表面上，束缚电荷面密度为
1??0Ux????ln2?ax?a?ln2a?x?a?
?P0??P?0
在x?a介质表面上束缚电荷面密度为
?U?Pa?P?0介质中束缚电荷体密度为
2ln2a
?P??12、一空心的电介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为Q，这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为?r. 解：由对称性和高斯定理得
当r>R1时E=0 当R1?R?R2时
?Ua?x?a??ax?0U?P??0??2?xln2a2?x?a?2?x?a?ln2
Q??2D?dS?D?4?r?
R1R2?r