求这导体组的电容。另一是作为电阻使用，设想在导体之间充满某种各向同性的，均匀的欧姆导电介质，其电导率为v使两导体之间维持一恒定的电势差，其值与这两导体作电容器时的电势差相等，如图（b）如示，试求这导体组的电阻。
解：在第一种情况中，两导体构成两个等势面，其间存在静电场，两导体间的电势差为
SS ?Q ?r??? EE?Q
(b)导体组用作电阻(a)导体组用作电容器
?
??????E?dl?
导体上的电量为
Q??dS?D?dS??0?rE?dS SSS导体组的电容为
?0?rE?dSQS ?C?? ?????E?dl?
在第二种情况中，两导体也构成两个等势面，其间存在稳恒电场，两导体间的电势差为
? ??????E?dl?而电流 I?j?dS?vE?dS?vE?dSSSS
由欧姆定律，导体组的电阻为
? E?dl?????? R??IvE?dS
S比较两个结果得 ?0?rRC?
v
一切实际的电介质总有一定的电导率，任何导体也都具有介电常数。其实际介质中的电容与相应电阻之间满足上式关系。
????????????33、两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为?r1、?1和?r2、?2，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。
解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即
D10?D20?D0 或
?r1?0E10??r2?0E20
aE10?bE20?U 但
由上两式解得
Ka?r1b?r2E10??r2Ua?r2?b?r1?1?2 图（a）
?r1UE?20 a?r2?b?r1
???U D0?r1r20a?r2?b?r1
由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为 ?1?r2Uj??E? 10110a?r2?b?r1 ?2?r1Uj20??2E20?
a?r2?b?r1
由于 j10?j20，于是在两种介质的交界面上会积累起电荷，积累起来的电荷所造成的附加电场必定削弱电流密度较大一方的电场，增强电流密度较小一方的电场。随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，小的一方电流逐渐增强，直到电流密度相等后，才达到稳定。设想在界面附近作一圆柱形的封闭曲面，使底面与交界面平行，如图（b）所示。把电流连续性方程应用于这一封闭曲面，并注意到高斯定理，得 dq j?dS???S(j2?j1)?S??dtdqdt?r1?1?r2
?SD?dS?q ?2(D2?D1)?S?q
图（b）
dj?j??(D2?D1)21
dt或 d?E??E???0(?r2E2??r1E1) 2211dt
但
aE1?bE2?U
消去 令
E2得
dE1a?2?b?1?2U?E1?dt?0(a?r2?b?r1)?0(a?r2?b?r1)?0(a?r2?b?r1)?2Utr?c?a?1?b?2?0(a?r2?b?r1)
上式变为
dE1 dt解此方程得
?1E1?ctr
其中A为积分常数，可由初始条件求得。 当t?0时E1?E10，得
E10?tr(c?A)
于是 E10A?c?
tr
得 ?2U?r1U?ttrE1?1?e?e?ttr
a?2?b?1a?r2?b?r1
同理
?1U?r1U
E2?1?e?ttr?e?ttr a?2?b?1a?r2?b?r1
K电流密度为
baj1??1E1
?r2?r1
j2??2E2
?2?1界面上的电荷密度为
D?f?D2?D1
??0?r2E2??0?r1E1E
????? j?f??01r22r1U1?e?ttr a?2?b?1
E1?tr?c?Ae?ttr?????t?0t?0??t?0当t??时：?2UE1?a?2?b?1
Dt??E1 E2?a?2?b?1
达到稳定值。此时有 ??U j1??1E1?12 a?2?b?1?Uj图（C） t??t??
j2??2E2??1?2Ua?2?b?1
j1?j2，电流密度法向连续。
t?0和t??时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。
34、计算把均匀的电介质插入带电平行电容器前后电容器的电容，极板上的电量，两极间的电势差，电容器的能量以及插入过程外力所作的功。假定介质片正好充满电容器．介质的相对介电常数为?r。
解：当介质片刚从电容器边缘插入电容器时，电容器边缘的电场分布发生的畸变，介质被极化，如图所示。如果没有外力作用于介质片使之徐徐移入电容器，则介质片在电场力的作用下将获得加速度。当介质片正好全部进入电容器时，场的畸变消失，但介质片具有动能，介质片将在电容器中振荡，直到它的全部机械能消耗完为止。 （1）保持电压恒定（电容器接在电池两端），设电容器极板的面积为S，两极之间的距离为L。
电介质插入前有关物理量分别为
U1?U0
?S C1?0 d ?0SU0Q?CU? 111d
?Q1?0U0F ?f1??Sd
2?SU11200 W1?C1U1??QU10 22d2电介质插入后有关物理量分别为 ?UDf E1?0?1?1U2d?U0?0?0
?0SC??C?? 2r1rd
?0S21W?CU??U0??rW1 222r2d ?0SQ2?C2U2??rU0??rQ1
d
U2U0 E2???E1dd电介质插入前后电容器极板上的电量和电容器的储能变化为
?Q?Q2?Q1?(?r?1)Q1??Q1
?W?W2?W1?(?r?1)W1??W1
在介质片插入电容器的过程中，电池作的功为
AB??QU0??QU 10?2?W1?2?W即电池作的功为电容器所增加能量的两倍，其中一半用于增加电场能，一半为电场对于电介质板所作的机械功AM AM?AB??W
??W1（2）保持电量恒定（充电后与电池切断） 电介质插入前有关物理量分别为
Q1?Q0
?0S C1? d QQdU1?1?0
C1?0S 11Q12d22W1?CU??Q 11022C12?0S
QUDE1?1?1?0
d?0?0S
电介质插入后有关物理量分别为
Q2?Q1?Q0
?0S C2??r??rC1 d Q21 U2??U1C2?r
21Q21
W??W12 2C2?r U1 E2?2?E1d?r
电介质插入前后电容器的储能变化为 ?1???W?W?W??1W?? ??121电场对于电介质板所作的机械功
?
??rA?M
为
?rW1AM???W??rW1