解：设导体球带电量为Q0，由高斯定理得
??Q02E?dS?E?4?r?0??0
导体球的电势为
E0?Q04??0r2
?a????r??P?Q0b?r由此得导体球所带电量为
????Q?1??0??E0?dl??Eb?dr?0??b4??0?b? Q0?4??0b?0
导体球在介质球处产生的场可视为匀强场，即在介质球心处产生的场强为
E0?Q04??0r2??介质球在均匀外场作用下发生极化，设极化强度为P，极化电荷为余弦分布，即
极化电荷在介质球内产生的场强为
bQ0r2
??n?Pcos? ?'?P?eE'?P3?0
介质球内总场强为
Ec?E0?P3?0介质极化强度为
所以
?P?P??0??r?1?Ec??0??r?1??E??03???0? ?3??r?1??03??r?1??0b?0E0??r?2?r?2r2
3??r?1??0b?043?a2?r?2r3
P?介质球的等效电偶极矩为
p?PV?介质球的等效电偶极矩与外场之间的相互作用能为
24???r?1??0a3b2?01W??p?E0??pE0???r?2r4 24???r?1??0a3b2?0?W4r3Fr?????r?r?2r8216??0??r?1?a3b2?0 ????r?2?r5介质球外场中所受的力为
29、两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为 ?，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的
电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场Ef仍是均匀场。 解法1：分步极化法
设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场
Ef，它使球均匀极化，极化强度为
P0??0?Ef0引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为 由P
1?
0附加电场EP1引起的附加极化，附加的极化强度为
?P???E???Ef 10p10Ep1??3?P0??3Ef附加的极化强度EP1产生的附加场强为
1?2
E??P?(?)Efp21 3?3附加场强EP2又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强
度为
?n
E?(?)Efpn
033于是介质球内的场强等于自由电荷的场强
Ef和附加场强EPn之总和，即
?n?1E?Ef?Ep1?Ep2????Ef??EPn
?????n?
??????Ef
?? 3? 0 ??根据 x n ? 2 ? ???? 1 得 ? n? x n ????1?x?x 1?xn?0 13E?E?Ef f?2??r 1?3?应比较小，同以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率
时极化不影响自由电荷的分布。
解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为
1 Ep??P 3?0
??即EP是与极化强度P的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为E，则
11
?E?P?E??0?EE?E?Efffp
3?03?0于是
??? E?1???Ef ?3?所以
E?30、半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b，相对介电常数为?r1的均匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为?r2的均匀气体电介质，假定?r1??r2，讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势。 解：（1）空间各点的电位移矢量D
由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量 在金属球内，
D0?0
在固体介质r1内，
D?dS?D?4?r2?q0
1q0
D1?,(a?r?b)2 4?r33Ef?Ef3??2??r??在气体介质r2内，
1q0D?,(r?b)2 4?r2（2）空间各点的电场强度E 在金属球内，
E0?0
在固体介质r1内，
11q0 E1?D1??0?r14??0?r1r2
在气体介质r2内，
1q0 E2?4??0?r2r2
（3）空间各点的极化强度P
在金属球内，
P0?0
在固体介质
????r1内，
q04??0?rr2 1P1??0?1E1??0(?r?1)在气体介质r2内
??1q0 P2??0?2E?r24??r2r2
（4）电荷分布
?在金属球表面上自由电荷分布 q?f?02 4?a在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布
?P1?P0?P1??P1?????r1?1q04??r1a2
?r1?1?f?r1在两种介质的交界面上极化电荷分布
??r1?1?r2?1?q0
??P?P????p2122 ??4?b?r1r2?
?11?a2??? ?2?f??r1?r2?b
（5）空间各点的电势? 金属球的电势为
?0??E?dl??E1?dl??E2?dlaab?b?
q0?11?11??
??????? 4??0??r1ab??r1?r2??
固体介质中任一点的电势为
?b? ?1?E?dl?E1?dl?E2?dlrrb
q0?11?1??? ?4??0??r1rb??r1
气体介质中任一点的电势为
???1??????r1???2??E?dl?r?q014??0?r2r
各物理量分布情况如图所示。
31、设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为 R，其永久极化强度为P0为恒量，若取P的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。 解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为 1E??P0 13?0 2RP02P0 RE2? 3?0z3在球内由 E2D??0E?P关系得
P0
D1E1D2
21 D1??0E1?P?P0?P0??P0033
在球外由 D??0?rE（球外为真空）关系得
2R3
D2??0?rE2??0E2?3P0 3z计算结果表明：即使没有自由电荷，D也不为零，说明D与极化电荷并不是无关系的。
D(z)、E(z)与z的关系如图所示。
设空间为两种不同的均匀电介质所充满，两种介质的交界面是一个平面，在交界面上有一个电量量q的点电荷，试求空间各点的电场强度和电移矢量。
解：由于点电荷位于界面上，在两介质的交界面上，电场强度只有切向分量，即因而
En?0，
Pn?0，除点电荷所在处外，分界面上无极化电荷分布，在点电荷与介质的“交界面”
q?qp的点电荷激发的电场具有球对称性，其场强为
上，将出现极化电荷，这个极化电荷是与点电荷重合在一起的点电荷，设极化电荷的电量为
qp，由于电量为
1q?qp?r E?e2?neS4??r0
q?r2由物态方程，得
?r1q?qp?r1?rD1??0?r1E?e 24?r
?r2q?qp?rD2??0?r2E?e 24?r
由介质中的高斯定理，得 D?dS?D?dS?D?dS?qS下半球面1上半球面2
由此得
?r1(q?qp)??r2(q?qp)?2q 即
2q
q?qp? ?r1??r2于是 q?rE?e
2??0(?r1??r2)
?r1q
?rD?e1 2?(?r1??r2)
?r2q ?rD2?e 2?(?r1??r2)32、研究介质的介电性与导电性，电阻和电容的关系。设想在两导体之间充满某种各向同性
???的均匀电介质，其相对介电常数为
?r，使两导体带等量异号的电荷，如图（a）所示，试