2．（2016?路北区三模）如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC；
2
（2）设△PQD的面积为y（cm），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．
【解答】解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC， 当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x； ∵AB=BC=CA=4， ∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°， ∴PC=2CQ， ∴4﹣x=2×2x， ∴x=；
（2）y=﹣
x+
2
x，
如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N； ∵∠C=60°，QC=2x， ∴QN=QC×sin60°=x； ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=BC=2， ∴DP=2﹣x，
∴y=PD?QN=（2﹣x）?
x=﹣
x+
2
x；
（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°； ∴NC=x， ∴BP=NC， ∵BD=CD， ∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC， ∴AD∥QN，
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∴OP=OQ，
∴S△PDO=S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离， 由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切； 当点Q在AB上时，8﹣2x=，解得x=故当x=或
，
时，以PQ为直径的圆与AC相切，
或
＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
当0≤x＜或＜x＜
3．（2016?零陵区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD． ∵OA=OB，CD=BD， ∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED． 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°， ∴∠BOD=∠BAC=60°， ∠C=∠0DB． 又∵OB=OD，
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∴△BOD是等边三角形． ∴∠C=∠ODB=60°， CD=BD=5． ∵DE⊥AC，
∴DE=CD?sin∠C=5×sin60°=
．
4．（2016?贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F， 在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°， ∴CO=AO?tan60°=100（米）． 设PE=x米， ∵tan∠PAB=
=，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100∵PF=CF，
∴100+2x=100﹣x， 解得x=
（米）．
﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
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5．（2016?二道区模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S． （1）当点R在线段AC上时，求出t的值．
（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．
【解答】解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：设MP为t，则PR=2t，AP=4﹣t， ∴可得：解得：t=（2）当当=
；
时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0； 时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积
，
，即
，
，
；
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当时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（2t﹣3）2t=2t﹣3t．
2
2
当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（12﹣2t）×2t=﹣2t+12t． 当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=
；
综上所述S与t之间的函数关系式为：S=．
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，
①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=4s，△LRE是等腰三角形；
当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=8s，△LRE是等腰三角形；
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8； ②当EL=LR时，如图所示：
LR=2t，CF=NL=4﹣t，则EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，
则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL=EF+FL=（2t﹣4）+（6﹣2t）．
2222
故由EL=LR得到：EL=LR，即4t=10t﹣40t+52， 整理，得 2
t﹣10t+13=0，
解得 t1=5+2（舍去），t2=5﹣2．
所以当t=5﹣2（s）时，△LRE是等腰三角形； 同理，当ER=LR时，
．
s
2
2
2
2
2
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或或
s时，△LRE是等腰三角形．
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