解得：t= 则PC=， ∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC， 在Rt△PCD中， tan∠PDC=
=
=；
则tan∠DPE=；
（3）延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′， 则∠ACD=∠BFD， ∵∠ADC=∠FDB， ∴∠CAD=∠FBD， ∴△ACD∽△BFD， ∴BF=， ∴BB′=
，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′， ∴△ACE∽△BCB′， ∴AE=∴t=AP=
， ．
13．（2016?黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣
=k（x﹣
）（k＜0）过定点F
．
且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
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（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=
）
【解答】解：（1）当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2联立得，
，化简得x﹣2
2
，
x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=?2
）．
；
2
?（x2﹣x1）=2
（2）根据题意得：
2
整理得：kx+
2
（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]﹣4×k×（﹣1）=2（1+k）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴，
∴AB=（x1﹣x2）+（
2
22
+）2
=（x1﹣x2）+（=（x1﹣x2）[1+（
2
） ）]
2
2
=，
第42页（共122页）
∴AB=﹣=，即=，
整理得，2k2+5k+2=0，即（2k+1）（k+1）=0，解得k=﹣1或k=﹣．
（3）F（
，），如图：
，），
设P（x，），则M（﹣+
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2由（1）知P（﹣1，+1），
∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．
，
14．（2016?滨州）根据下列要求，解答相关问题
2
（1）请补全以下求不等式﹣2x﹣4x≥0的解集的过程
2
①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x﹣4x；并在下面的坐标系中
2
（见图1）画出二次函数y=﹣2x﹣4x的图象（只画出图象即可）
2
②求得界点，标示所需；当y=0时，求得方程﹣2x﹣4x=0的解为 x1=0，x2=﹣2 ；并用2
锯齿线标示出函数y=﹣2x﹣4x图象中y≥0的部分．
2
③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式﹣2x﹣4x≥0的解集为 ﹣2≤x≤0 ．
2
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x﹣2x+1＜4的解集
①构造函数，画出图象 ②求得界点，标示所需 ③借助图象，写出解集
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x
2
的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集．
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2
【解答】解：（1）y=﹣2x﹣4x=﹣2x（x+2），则该抛物线与x轴交点的坐标分别是（0，0），（﹣2，0），且抛物线开口方向向下，所以其大致图象如图（1）所示：
根据图示知，不等式﹣2x﹣4x≥0的解集为﹣2≤x≤0． 故答案是：x1=0，x2=﹣2；﹣2≤x≤0；
（2）①构造函数y=x﹣2x+1，画出图象，如图（2）所示；
2
②当y=4时，方程x﹣2x+1=4的解为x1=﹣1，x2=3；
2
③由图（2）知，不等式x﹣2x+1＜4的解集是﹣1＜x＜3；
（3）①当b﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是x＞
2
2
2
2
或x＜．
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当b﹣4ac=0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是x≠﹣
2
2
22
；
当b﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是全体实数． 15．（2016?宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与
2
射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角． （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．
【解答】（1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°， ∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°， ∴∠OAP+∠APO=135°， ∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°， ∴∠OAP=∠OPB， ∴△AOP∽△POB， ∴
2
，
∴OP=OA?OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴OA?OB=OP， ∴
，
2
∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=α， ∴△AOP∽△POB， ∴∠OAP=∠OPB，
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