②当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个； ③当④当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个． 10．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）求线段AC的长度； （2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长； ②当l经过点B时，求t的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
（2）如图1，
；
过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3﹣t， 则∠AHP=∠ABC=90°， ∵∠PAH=∠CAB， ∴△AHP∽△ABC， ∴
=
，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
第36页（共122页）
∴PH=，
∴S=?（3﹣t）?t，
即S=﹣t+t，t的取值范围是：0＜t＜3．
（3）①如图2，
2
∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A， ∴AP=AQ， ∴3﹣t=t， ∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O， ∴△AQO∽△ABC， ∴∴
， ，
，
∴PO=AO﹣AP=1， ∵OQ∥BC∥AD， ∴△APE∽△OPQ， ∴∴
，
．
②如图③，
（i）当点Q从B向A运动时l经过点B， BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90° ∴∠PBC=∠PCB， ∴CP=BP=AP=t
第37页（共122页）
∴CP=AP=AC=×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t， 过点P作PG⊥CB于点G， 则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC， ∴∴PG=
，
?AB=（5﹣t），CG=
=
2
2
?BC=（5﹣t），
∴BG=4﹣
2
由勾股定理得BP=BG+PG，即解得
．
，
11．（2016?平度市一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
第38页（共122页）
∴AB=10cm． ∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB﹣BP=10﹣t． ∵PQ∥BC， ∴∴解得t=
（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC?BC﹣AP?AQ?sinA ∴y=×6×8﹣×（10﹣t）?2t?=24﹣t（10﹣t） =t﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y=t﹣8t+24；
（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下： 由题意，得t﹣8t+24=×24， 整理，得t﹣10t+12=0， 解得t1=5﹣，t2=5+
2
2
2
2
=， =；
，
（不合题意舍去）．
；
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=； ②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×③如果QA=QE，那么2t×故当t为秒
秒
=t，解得t=
．
；
=5﹣t，解得t=
秒时，△AEQ为等腰三角形．
第39页（共122页）
12．（2016?启东市一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE∥BC，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动． （1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求t的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3， ∴AD=5，
∵PE∥BC，AP=t， ∴∴=
=
， ，
∴AE=t， ∴DE=5﹣t，
∴y=5﹣t，（0＜t＜4）；
（2）连接PD，
当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即5﹣t=t+2，
第40页（共122页）