∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OD⊥AB，AD=AB=×4
=2，
在Rt△OAD中，∴∠AOD=45°， 同理∠BOD=45°，
==，
∴∠BOA=90°， ∴∠OAC+∠BOA=180°， ∴AC∥OB， ∵AC=OB=4，
∴四边形OABC为平行四边形，
∵∠OAC=90°， ∴四边形OABC是矩形，
∴∠OBC=90°，
即OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①延长DO交⊙O于E，如图2所示：
∵OD⊥AB，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切， 则平移的距离为DE的长， ∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°， ∴OD=AD=2∵OE=4， ∴DE=OD+OE=2
+4； ，
②如图3所示：OC'=OC=综上所述，d的值为（4+2
=4，CC'=8
cm．
cm；
）cm或8
【点评】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是矩形是解决问题（1）的关键．
27．（10分）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．
（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；
（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中， ①求DH的最大值； ②直接写出DH的最小值．
【分析】（1）先判断出△ABE≌△CBG，得到∠BAE=∠BCG，再进行简单的代换即可；
（2）①先判断出点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，得到DH最大就是大正方形的对角线，即可；
②先由AE恒垂直CG于H，判断出当AE垂直于BE时，DH最短．如图所示，得到点A，E，F（H）共线，再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边，得出∠BAE=30°，再利用三角函数和勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）是，理由如下： 由旋转知，∠ABE=CBG， 在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°， ∴△ABE≌△CBG， ∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180° ∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°， ∴∠AHC=∠ABC=90°， （2）①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上， 由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°， ∴点B，D也在以AC为直径的圆上，
∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上， 在正方形ABCD中，∠BCD=90°， ∴BD也是这个圆的直径，
∴当H与点B重合时，DH最大为2
，
②解：（1）是，理由如下： 由旋转知，∠ABE=CBG， 在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°， ∴△ABE≌△CBG， ∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180° ∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°， ∴∠AHC=∠ABC=90°， （3）①∵∠AHC=90°
∴点H在以AC为直径的圆上， 由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°， ∴点B，D也在以AC为直径的圆上，
∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上， 在正方形ABCD中，∠BCD=90°， ∴BD也是这个圆的直径，
∴当H与点B重合时，DH最大为2∵点A，B，H，C，D五点共圆， ∴当∠DAH最小时，DH最小， ∵∠BAD=90°，
∴∠BAE最大时，DH最小，
∴当AE⊥BE时，∠BAE最大是30°， ∵AE恒垂直CG于H，
∴当AE垂直于BE时，DH最短． 如图，
，
∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵AB=2，BE=1， ∴AE=
，∠BAE=30°，
∵点A，E，F共线， ∴AF=AE+EF=作FM⊥AD， FM∥AB，
∴∠AFM=∠BAE=30°， ∴FM=AFcos∠AFM=（AM=AFsin∠AFM=（∴DM=AD﹣AM=2﹣
+1）cos30°=+1）sin30°==
，
=
．
，
+1，
在Rt△DMF中，根据勾股定理得，DH=DF=即：DH的最小值为
．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转过程中极值的确定方法，还用到了三角函数的意义，解本题的关键是作出图形．