1
飞行力学理论及应用
大作业
院（系） 自动化科学与电气工程学院 专 业
控制科学与工程 朱付涛 BY1403158
学生姓名 李琛 SY1403520
左京兴 BY1303165
2014年1月4日
飞行力学理论大作业
大作业分工情况：
李琛：飞机运动方程建模 左京兴：小扰动线性化
朱付涛：求解飞机时域响应和附录
第一部分 飞机运动建模
在平面地球假设下，飞机飞行在平面大地上空，不考虑地球曲率和地球自转。 首先列出气动力和气动力矩方程：
?X?qSCx??Y?qSCy ??Z?qSCz?L?qSblC??M?qScmC?N?qSbCn?
其中，X,Y,Z为气动力在飞机机体系的分量，坐标系选为美式坐标系。L,M,N为飞机气动力矩在机体上的分量。q为动压，S为飞机的机翼面积，b为翼展，c为平均气动弦长。
1.1 飞机质心动力学方程
???MrM??2?MrM???M?MrM?和式(5.4.9)f?maC出发，由式(5.1.7)aM?aoM?rM推导飞机的质心动力学方
程。本文推导了两种情况下的质心动力学方程：风轴系中的质心动力学方程和体轴系中的质心动力学方程。
(1) 风轴系中的质心动力学方程
式（5.4.9）在风轴系中写为
fw?macw
(1.1)
式（5.1.7）是一般坐标系中惯性加速度的表示，将其写为地轴系中的表达，此时r?就是质心相对地球的速度，用VE来表示。假定地轴固定于惯性空间，则??0。FE原点的加速度a0就是与地球转动有关的向心加速度，它与g相比可以略去。其中的向心加速度项??r?通常也可略去。另外令r??VE,哥氏加速度为2?EVE，则有
EEaCE?VEE?2?EVE
(1.2)
由于FW相对于FE的角速度为(?W??E)，利用
Lbava?vb??bvb
(1.3)
将式(1.2)转换到风轴系得到
EEaCW?LWEaCE?LWE(VEE?2?EVE)?V?(???)WV?2LWE?VEWWEEWEEEE (1.4)
其中最后一项可以化简为：
EEEEELWE?EVE?(LWE?ELEW)(LWEVEE)??WVW
(1.5)
于是得到下式：
EEEEEEaCW?VW?(?W??E)WVW?2?EVE?VW?(?W??E)WVW
(1.6)
其中
?V?VE????Wxw??pW??pEW?
W??0???W?yw?,?WW??q?,?E??qE? ??0????Wzw??W???W?W??rW????rEW??利用矩阵表示式
?0??za?ya?
??a???za0???xa ??
???ya?xa0??可得到?EW
W和?W的表示为：
??0?rWqW???rEWqEW?
?W?0W??rW0pE?EW0pE?W? ???q?,?W??rWWpW0?????qEWpEW0??将式(1.7)和式(1.9)代入到式(1.6)，并假设大气静止，即W=0，则可得：
??aC?xw??
??a??VE?Cyw????V(rW?rW) ??aC?? ?V(qEzw???W?qW)??将式(1.10)代入到式(1.1)中可得到标量方程为：
??fxw?mV
?fmV(rEyw?W?rW) ??fzw??V(qEW?qW)大气飞行的力矢量由两部分组成：气动反作用力A和重力mg，即
f?A?mg
在风轴系FW中，A的分量可以写成下面的形式： ?XW?
A??D??Txw?w???YW?????C?????T?yw
??ZW??????L???Tzw??上式中，D是阻力，C是侧力，L是升力。
重力的表达如下式所示：
?0?
g???0?V
???g??因此利用风轴系的欧拉角，可得
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
mgW?mLMVgV
cos?wcos?wcos?wsin?w??m??sin?wsin?wcos?w?cos?wsin?wsin?wsin?wsin?w?cos?wcos?w??cos?wsin?wcos?w?sin?wsin?wcos?wsin?wsin?w?sin?wcos?w??0??0?(1.15)
sin?wcos?w????cos?wcos?w????g???sin?w??sin?w??mg??sin??wcos?w?cos???wcos?w??将式(1.11)、式(1.13)和式(1.16)。代入到式(1.12)中可得如下方程组：
??Txw?D?mgsin?w?mV
?T?C?mgcos?Eywwsin?w?mV(rW?rW) ??Tcos?Ezw?L?mgcos?ww??mV(qW?qW)当忽略地球转动时，rE和qEWW项为零，则有
??Txw?D?mgsin?w?mV
?Tyw?C?mgcos?wsin?w?mVrW ??Tzw?L?mgcos?wcos?w??mVqW由此得到了风轴系下飞机的质心动力学方程(1.18)。 (2) 体轴系中的质心动力学方程
式（5.4.9）在体轴系中可写为
fB?maCB
设FBEB相对于FE的角速度为(???)，则根据式Lbava?vb??bvb及式(1.2)可得：
aEEE?E)EECB?LBEaCE?LBE(VE?2?EVE)?VEB?(?B?BVEB?2LBE?EVE
其中最后一项根据教材中式（4.6.8）?a?Lab?bLba可化简为:
LEEELEEEBE?EVE?(LBE?EEB)(LBELE)??BVB 则式(1.20)可改为：
aCB?VEB?(?B??E)BVEB
式(1.22)矢量的标量分量为
?u?? VE????Wx??p?pEB?????W?,???q?y?B??,?EB???qE?B?vB
??w????Wz????r????E?rB??根据式(1.8)可得
???0?rq?0?rEqEBB?
?B?B??B??r0?p?,?EB???rEB0pE?B? ???qp0?????qEBpEB0??
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
将式(1.23)和式(1.24)代入到式(1.22)中，并考虑大气静止的情况，即W=0，得到如下方程组：
??aEE ?CBx?u?(q?qB)w?(r?rB)v?av?(r?rE?(p?pECBy?B)uB)w ???aCBz?w?(p?pEEB)v?(q?qB)u类似的可得：
mgB?mLBVgV?cos?cos?cos?sin??sin???
?m??sin?sin?cos??cos?sin?sin?sin?sin??cos?cos?sin?cos???0?0?
??cos?sin?cos??sin?sin?cos?sin?sin??sin?cos?cos?cos????????g????sin???mg??cos?sin??????cos?cos??
考虑到体轴系中的气动力表达式为：
?X? A?B???Y
???Z??并利用式(1.12)可得：
fB?AB?mgB
即
??fBx?X?mgsin?
?fBy?Y?mgcos?sin? ??fBz?Z?mgcos?cos?将式(1.29)和式(1.25)代入到式(1.19)中得到体轴系下的质心动力学方程为：
? ?X?mgsin??m[u?(q?qEB)w?(r?rEB)v]?Y?mgcos?sin??m[v?(r?rEEB)u?(p?pB)w] ??Z?mgcos?cos??m[w?(p?pEEB)v?(q?qB)u]当忽略地球转动时，pEEB,qB,rEB为零，则有：
??X?mgsin??m(u?qw?rv)
?Y?mgcos?sin??m(v?ru?pw) ??Z?mgcos?cos??m(w?pv?qu)1.2飞机转动动力学方程
由式（5.4.12）G?h出发，推导飞机的转动动力学方程（考虑发动机转子产生的角动量）。 仅在体轴系下考虑：G?h，式中
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)