?X?mgsin??m(u?qw?rv)??Y?mgcos?sin??m(v?ru?pw)?Z?mgcos?cos??m(w?pv?qu)??L?Ixp?Izx(r?pq)?(Iy?Iz)qr?22?M?Iyq?Izx(r?p)?(Iz?Ix)rp??N?Izr?Izx(p?qr)?(Ix?Iy)pq ???p?qsin?tan??rcos?tan?????qcos??rsin?????(qsin??rcos?)sec??xE??u??y??T?,?,??v?????E?VB????zE???w??
其中，气动力和气动力矩为：
1?V2S(Cx?Cxq?q)?T21Y??V2S(Cy?Cyr?r?Cyp?p)21Z??V2S(Cz?Czq?q)2
1L??V2Sc(Cl?Clr?r?Clp?p?Cl?a??a?Cl?r??r)21M??V2Sc(Cm?Cmq?q)21N??V2Sc(Cn?Cnr?r?Cnp?p?Cn?a??a?Cn?r??r)2X?气动力系数需要按如下方法通过插值求出：
Cx?Cx(?,?e)Cxq?Cxq(?)Cyr?Cyr(?)Czq?Czq(?)Cl?a?Cl?a(?,?)Cn?a?Cn?a(?,?)Cl?r?Cl?r(?,?)Cn?r?Cn?r(?,?)Cyp?Cyp(?)
Cy??0.02??0.021(?a/20)?0.086(?r/30)Cz?A(?)(1?(beta/57.3)^2)?0.19(?e/25)Cl?Cl(?,?)Cm?Cm(?,?e)Cn?Cn(?,?)Clr?Clr(?)Cmq?Cmq(?)Cnr?Cnr(?)Cnp?Cnp(?)Clp?Clp(?)下面以定直平飞状态[120m/s,1000m]作为基准运动状态，完成纵向力和力矩的配平，得到配平迎角、配平升降舵偏角和配平油门的大小。
3.2纵向力和力矩的配平
地面的重力加速度g=9.8066 m/s2、大气密度?=1.225kgm。M?MXi?Myj?Mzk，定直平飞状态下，
3MX?0，My?0，M?Mz。
纵向方向配平需要用到的力和力矩方程为：
?T?X?mgsin??m?u?qw?rv??0??Z?mgcos?cos??m?w?pv?qu??0 ?2?M?CmqSL?0.5Cm?u0Sc?0 (2.9)
纵向气动力和气动力矩的表达式为
Z?111?V2S(Cz?Czq?q)X??V2S(Cx?Cxq?q)?TM??V2Sc(Cm?Cmq?q) 222
又有??0、???和p?q?r?0，可将上式进一步化简为
由气动参数表查表可知，Cz=A*(1-(beta/57.3)^2)-0.19*(elevator/25.0)，在定直平飞状态中，beta为零，
?T?0.5Cx?V2S?mgsin??0?2?0.5Cz?VS?mgcos??0?C?0?m
(2.10)
Cz?A(?)?0.19?e25，于是配平方程进一步写为：
?T(V,H,?T)?0.5Cx(?,?e)?V2S?mgsin??0??e?2 ?0.5(A(?)?0.19)?VS?mgcos??025???Cm(?,?e)?0在给定飞行状态[V,H,?,S,m,g]时，上式为关于[?,?e,?T]的非线性方程组。用matlab的fsolve函数可以先解出[?,?e]，再解出[?T]。
每一种飞行状态对应的速度和高度如下表所示：
表3 飞机的飞行状态
飞行状态 速度(m/s) 高度(m) 飞行状态 速度(m/s) 高度(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 0 0 0 0 0 0 1000 1000 1000 1000 5000 5000 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 5000 10000 10000 10000 10000 11000 11000 11000 12000 13000 14000 15000 配平攻角、升降舵偏角及油门的值为：
403550.90.80-5配平攻角（°）252015105050配平发动机油门开度（0-1）100150200飞机速度（米/秒）250300300.70.60.50.40.30.2配平舵偏角elevator（°）-10-15-20100150200飞机速度（米/秒）250300-25500.150100150200飞机速度（米/秒）250300
图1 对应所有飞行状态的配平结果
我们这一组（第四组）所取飞行状态的速度为120m/s，高度为1000m，其配平攻角、舵偏角和油门开度为：6.3296°、-0.5714°和0.169。
3.3小扰动线性化方程组
(1) 纵向小扰动方程
在第二部分中已经建立了分立的小扰动线性化方程和气动导数的求解公式，根据3.2节的配平结果，可以求得每一个气动导数，进一步求得纵向和横侧向的小扰动线性化方程。其中，纵向的小扰动线性化方程为：
??u?? -0.0180 0.0543 0.4402 -9.7438???u?? 5.7520 -0.0008??w?? -0.1624 -0.5900 111.0733 -1.0808??w?? 0 -0.1495??????????????T?
??q?? -0.0000 -0.0044 -0.7730 0??q?? 0 -0.1053?????e??????????? 0 0 1.0000 0?? 0 0????????其中，纵向系统矩阵的特征值和对应的特征向量为：
? -0.6858 + 0.6992i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i?? 0.0000 + 0.0000i -0.6858 - 0.6992i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i??? ? 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0046 + 0.0846i 0.0000 + 0.0000i??? 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0046 - 0.0846i??和
? 0.0271 - 0.0323i 0.0271 + 0.0323i -0.9914 + 0.0000i -0.9914 + 0.0000i?? 0.9991 + 0.0000i 0.9991 + 0.0000i 0.1305 - 0.0093i 0.1305 + 0.0093i??? ? -0.0008 + 0.0062i -0.0008 - 0.0062i -0.0007 + 0.0001i -0.0007 - 0.0001i??? 0.0051 - 0.0039i 0.0051 + 0.0039i 0.0021 + 0.0086i 0.0021 - 0.0086i??(2) 横侧向小扰动方程
横侧向的小扰动线性化方程为：
?v??-0.1879 0.1243 -119.2771 9.7438??v??0.0207 0.0564??p??-0.1308 -2.4626 0.7854 0??p??-8.1387 2.0932?????????????a?
??r??0.2469 -0.0539 -0.3323 0??r??-0.3356 -1.0339????r?????????? 0 1.0000 0.1109 0? 0 0????????横侧向系统矩阵的特征值和对应的特征向量为：
? -0.2377 + 5.4470i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i?? 0.0000 + 0.0000i -0.2377 - 5.4470i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i??? ? 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -2.5357 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i??? 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0283 + 0.0000i??和
? 0.9987 + 0.0000i 0.9987 + 0.0000i -0.3654 + 0.0000i 0.1219 + 0.0000i?? -0.0140 + 0.0182i -0.0140 - 0.0182i -0.8661 + 0.0000i 0.0190 + 0.0000i?? ?? 0.0006 - 0.0454i 0.0006 + 0.0454i 0.0197 + 0.0000i 0.0806 + 0.0000i??? 0.0025 + 0.0024i 0.0025 - 0.0024i 0.3407 + 0.0000i 0.9891 + 0.0000i??
至此，求出了小扰动线性化方程的具体形式。
3.4计算时域响应
基于全量运动方程和小扰动线化方程，计算飞机各状态变量的时域响应。飞机的状态变量为：体轴系速度
[u,v,w]；角速度[p,q,r]；姿态角[?,?,?]；位移[x,y,z]。输入为舵偏角[?a,?e,?r]；发动机油门开度[?T]。
配平攻角、升降舵和油门为6.3296°、-0.5714和0.169。
(1). 状态变量初值为零，外界输入为零
对于全量方程：
初值为零：[u,v,w,p,q,r? 0 120*sin(6.3296/57.3) 0 0 0 0 ,?,?,,x,y,z=[120*cos(6.3296/57.3) ]6.3296/57.3 0 0 0 0]。
外界输入为零：[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714°0 0.169]。 对于小扰动方程：
初值为零：[?u,w,q,??]?[0,0,0,0]和[v,p,r,?]?[0,0,0,0]。 外界输入为零：[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]。 (2). 纵向模态激励下，外界输入为零
纵向特征值为[?0.00?46对于全量方程：
对于长周期模态，模态激励为[u??u,v,w,p,?q,?r,?,???0 ,x,=[120*cos(6.3296/57.3) yz120*sin(6.3296/57.3) 0 0 0 0 6.3296/57.3 0 0 0 0]+[-0.9914,0.1305,-0.0007,0.0021]，外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714°0 0.169]；对于短周期模态，模态激励为[u??u,v,w,p,q,r,?,????,?,x,y,z]=[120*cos(6.3296/57.3) 0 120*sin(6.3296/57.3) 0 0 0 0 6.3296/57.3 0 0 0 0]+ [0.0271,0.9991,-0.0008,0.0051]，外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714° 0 0.169]。 对于小扰动方程：
对于长周期模态，模态激励为[?u,w,q,??]?[-0.9914,0.1305,-0.0007,0.0021]，外界输入为
0.i0和8[?0.6858?0.6992i]。对应的特征向量的实部分别为
[-0.9914,0.1305,-0.0007,0.0021]和[0.0271,0.9991,-0.0008,0.0051]。
[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]；对于短周期模态，模态激励为[?u,w,q,??]?[0.0271,0.9991,-0.0008,0.0051]，
外界输入为[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]。
(3). 侧向模态激励下，外界输入为零
侧向特征值为[?0.2377?5.4470i]、[?2.5357]和[0.0283]，现在取一个稳定模态[?2.5357]和一个不稳定模态[0.0283]。对应的特征向量分别为[-0.3654,-0.8661,0.0197,0.3407]和[0.1219,0.0190,0.0806,0.9891]。 对于全量方程：
对于长周期模态，模态激励为[u,v,w,p,q,r,?,?,?,x,y,z]=[120*cos(6.3296/57.3) 0 120*sin(6.3296/57.3) 0 0 0
0 6.3296/57.3 0 0 0 0]+ [0.1219,0.0190,0.0806,0.9891]，外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714°0 0.169]；对于短周期模态，模态激励为[u,v,w,p,q,r,?,?,?,x,y,z]=[120*cos(6.3296/57.3) 0 120*sin(6.3296/57.3) 0 0 0 0 6.3296/57.3 0 0 0 0]+ [-0.3654,-0.8661,0.0197,0.3407]，外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714° 0 0.169]。
对于小扰动方程：
对于长周期模态，模态激励为[v,p,r,?]?[0.1219,0.0190,0.0806,0.9891]，外界输入为
[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]；对于短周期模态，模态激励为[v,p,r,?]?[-0.3654,-0.8661,0.0197,0.3407]，外界
输入为[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]。
(4). 升降舵单位阶跃输入（1o≈0.01745 rad）
对于全量方程：
初值为零：[u,v,w,p,q,r,?,?,?,x,y,z]=[120*cos(6.3296/57.3) 0 120*sin(6.3296/57.3) 6.3296/57.3 0 0 0 0]。
外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714° 0 0.169]+[ 0 step 0 0]。 对于小扰动方程：
初值为零：[?u,w,q,??]?[0,0,0,0]和[v,p,r,?]?[0,0,0,0]。 外界输入为[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]?[0,step,0,0]。 (5). 副翼单位阶跃输入（1o≈0.01745 rad）
对于全量方程：
初值为零：[u,v,w,p,q,r,?,?,?,x,y,z]=[120*cos(6.3296/57.3) 0 120*sin(6.3296/57.3) 6.3296/57.3 0 0 0 0]。
外界输入为[?a,?e,?r,?T]=[0 -0.5714° 0 0.169]+[ step 0 0 0]。 对于小扰动方程：
初值为零：[?u,w,q,??]?[0,0,0,0]和[v,p,r,?]?[0,0,0,0]。 外界输入为[?a,?e,?r,?T]?[0,0,0,0]?[step,0,0,0]。
3.4.1初值为零输入为零
(1) 全量方程模型
全量方程模型在MATLAB中的实现如下图所示：
图2 零状态零输入的全量方程模型
全量方程在初值为零无输入情况下的响应结果如下图所示：
0 0 0 0 0 0 0 0