h??R?Vdm
(1.32)
将式(1.32)转换成矩阵符号为：
hI??RIVIdm??RIRIdm
(1.33)
根据式RI?LIB(RB??BRB)则可得h在FB中的分量为
hB?LBIhI??LBIRILIBRBdm??LBIRILIB?BRBdm
(1.34)
根据教材中式（4.7.4），有RB?LBIRILIB，则上式可以化简为：
hB??RBRBdm??RB?BRBdm
(1.35)
利用?R??R?可将上式中第二项改写为
?R?BBRBdm???RBRB?Bdm?JB?B
(1.36)
则式(1.35)可重新写为：
hB??RBRBdm?JB?B
(1.37)
在以上分析的基础上，设两个体轴系FB1和FB2，并考虑转子产生的角动量，FB2相对于FB1有一角速度??，则对这两个参考系的角动量为：
ri?hB?RBRBdm?JB?B??hB?111111?i ?ri?hB2??RB2RB2dm?JB2(?B1???)??hB2i? (1.38)
令RB2RB2dm?hB，则可将其转换成下列形式：
2?eehB??TB2B1RB1TB1B2RB2dm?TB2B1?RB1(RB1???B1RB1)dm2
??TB2B1???RB1RB1dm??RB1RB1??B1dm??TB2B1??RB1RB1dm?JB1??B1??? (1.39)
当hB为零，即RB1RB1dm?JB1??B1?0，则得到了平均轴系下的关系式：
2e?
rihB?JB?B??hB
i (1.40)
下面再回到(5.4.12)式，它在参考系FI中的形式为：
GI?hI
(1.41)
那么转换到体轴系中为：
GB?LBIGI?hB??BhB
(1.42)
其中
GB为：
?L??
GB??M????N?? (1.43)
当采用平均轴系时，将式(1.40)代入到式(1.42)中得到：
ririGB?JB?B?JB?B??BJB?B??hB???BhB
ii (1.44)
对于刚体，则上式中可以忽略JB，并进行标量展开为：
?L??Ix?M????I???xy??N?????Izx?IxyIy?Iyz?Izx??p??0?rq??Ix??????I?Iyz??q?r0?p?????xyIz??r?????qp0???????Izx?IxyIy?Iyz??ri?ri?hhx???x??Izx??p???ii???????riri?Iyz??q????hy???B??hy? (1.45)
?i??i???Iz?rr????hri???hi??zz?????i??i?将上式写成方程组的形式为：
?ririri22L?Ip?I(q?r)?I(r?pq)?I(q?rp)?(I?I)qr?rh?qh?h???xyzzxxyyzyzx?iii??rrr22?M?Iyq?Izx(r?p)?Ixy(p?qr)?Iyz(r?pq)?(Iz?Ix)rp?r?hxi?p?hzi??hyiiii??N?Ir?I(p2?q2)?I(q?rp)?I(p?qr)?(I?I)pq?qhri?phri?hri???zxyyzzxxyxyz?iii?
通常Cxz是飞行器的对称面，此时Ixy?Iyz?0,则上式可以简化为
(1.46)
?riririL?Ip?I(r?pq)?(I?I)qr?rh?qh?h???xzxyzyzx?iii??rrr22?M?Iyq?Izx(r?p)?(Iz?Ix)rp?r?hxi?p?hzi??hyi
iii??N?Ir?I(p?qr)?(I?I)pq?qhri?phri?hri???zzxxyxyz?iii?列出整个方程的标量展开式没有什么好处，对于忽略?的且没有转子项的局限情况，即对于刚体，式（1.46）标量方程为
?L?Ixp?Izx(r?pq)?(Iy?Iz)qr?22?M?Iyq?Izx(r?p)?(Iz?Ix)rp ??N?Izr?Izx(p?qr)?(Ix?Iy)pq
(1.47)
1.3 飞机质心运动学方程
由速度矢量三角形VE?V+W出发，推导飞机的质心运动学方程。飞机的质心运动学方程在风轴系和体轴系展开。
(1) 风轴系的质心运动学方程
E由VE?V+W可写出风轴系中的方程VW?VW?WW,进而可以得到牵连垂直坐标系中的分量为：
VVE?TVW(VW?WW)
(1.48)
式中
?V??Wxw??,W??W?
VW??0??W?yw????0???Wzw??E?Vxv??cos?Wcos?W?E???Vyv???cos?Wsin?WE??Vzv??sin?W??? (1.49)
将式(1.48)展开成标量形式为：
sin?Wsin?Wcos?W?cos?Wsin?Wsin?Wsin?Wsin?W?cos?Wcos?Wsin?Wcos?Wcos?Wsin?Wcos?W?sin?Wsin?W??V?Wxw??W? (1.50) cos?Wsin?Wsin?W?sin?Wcos?W?yw?????cos?Wcos?W??Wzw??当忽略地球曲率时（?V?0），即可认为FV平行于FE，并且假设大气相对于地球静止，即W=0，而质心的位置坐标
?xE,yE,zE?可写成下面的形式：
?xE?Vcos?Wcos?W??yE?Vcos?Wsin?W ?z??Vsin?W?E (1.51)
上式便是风轴系中飞机质心运动学方程。
(2) 体轴系中运动学方程
由VE?V+W可写出体轴系中的方程VBE?VB?WB,进而得到牵连垂直坐标系中的分量：
VVE?TVB(VB?WB)
(1.52)
式中
?u??Wx??,W??W?
VB??v??B?y????w???Wz?? (1.53)
当忽略地球曲率时（?V?0），即可认为FV平行于FE，并且假设大气相对于地球静止，即W=0，而质心的位置坐标
?xE,yE,zE?可写成下面的形式：
?xE??u??y??T?,?,??v?
????E?VB????zE???w?? (1.54)
上式便是体轴系中的飞机质心运动学方程。
1.4飞机转动运动学方程
BV由(5.2.5)式????i??j????k??出发，推导飞机的转动运动学方程。
(1) 体轴系转动运动学方程 由式(5.2.5)可得
?1??0???T(?)??1??T(?)T(?)????V?i??j3??k2????0y??x??x???0???0???0??0??? ??1?? (1.55)
所以
?p?????V???q????sin??
?????cos???cos?sin???
??r?????cos?cos???sin???将上式变换得到欧拉角的变化率的表示为：
???p? ?qsin?tan??rcos?tan????qcos??rsin? ????(qsin??rcos?)sec?上式就是体轴系中的飞机转动运动学方程。 (2) 风轴系转动运动学方程
与体轴系中的推导过程完全相同，最终得到的转动运动学方程为：
???W?PW?QWsin?Wtan?W?RWcos?Wtan?W
??W?QWcos?W?RWsin? ?W??W?(QWsin?W?RWcos?W)sec?W1.5六自由度全量方程组
当无风时( W = 0 )，对于具有对称面的刚体飞机，建立飞机的6自由度全量运动方程组 飞机的质心动力学方程：
??X?mgsin??m(u?qw?rv)
?Y?mgcos?sin??m(v?ru?pw) ??Z?mgcos?cos??m(w?pv?qu)对于具有对称面的刚体飞机的转动动力学方程为：
??L?Ixp?Izx(r?pq)?(Iy?Iz)qr
?M?I2?p2yq?Izx(r)?(Iz?Ix)rp ??N?Izr?Izx(p?qr)?(Ix?Iy)pq飞机的质心运动学方程为：
? ?xE??u??y?E?T?,?,??? z?VB???v??
?E????w??飞机的转动运动学方程为：
????p?qsin?tan??rcos?tan?
???qcos??rsin? ????(qsin??rcos?)sec?第二部分 小扰动线性化
设基准运动为对称定常直线水平飞行，对飞机全量运动方程组进行小扰动线性化处理。
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
(1.60)
(1.61)
(1.62)
2.1飞机全量运动方程组
飞机的全量运动方程组如下所示，在此基础上进行小扰动线性化。
?X?mgsin??m(u?qw?rv)??Y?mgcos?sin??m(v?ru?pw)?Z?mgcos?cos??m(w?pv?qu)??L?Ixp?Izx(r?pq)?(Iy?Iz)qr?22?M?Iyq?Izx(r?p)?(Iz?Ix)rp??N?Izr?Izx(p?qr)?(Ix?Iy)pq ???p?qsin?tan??rcos?tan?????qcos??rsin?????(qsin??rcos?)sec??xE??u??y??T?,?,??v?????E?VB????zE???w??
由所给的F-16气动参数表，可以得到气动力和气动力矩的表达式为：
1?V2S(Cx?Cxq?q)?T21Y??V2S(Cy?Cyr?r?Cyp?p)21Z??V2S(Cz?Czq?q)2
1L??V2Sc(Cl?Clr?r?Clp?p?Cl?a??a?Cl?r??r)21M??V2Sc(Cm?Cmq?q)21N??V2Sc(Cn?Cnr?r?Cnp?p?Cn?a??a?Cn?r??r)2X?气动力系数需要按如下方法通过插值求出：
Cx?Cx(?,?e)Cxq?Cxq(?)Cyr?Cyr(?)Czq?Czq(?)Cl?a?Cl?a(?,?)Cn?a?Cn?a(?,?)Cl?r?Cl?r(?,?)Cn?r?Cn?r(?,?)Cyp?Cyp(?)
Cy??0.02??0.021(?a/20)?0.086(?r/30)Cz?A(?)(1?(beta/57.3)^2)?0.19(?e/25)Cl?Cl(?,?)Cm?Cm(?,?e)Cn?Cn(?,?)
Clr?Clr(?)Cmq?Cmq(?)Cnr?Cnr(?)Clp?Clp(?)Cnp?Cnp(?)以上为飞机的全量运动方程组。
2.2小扰动线性化方程组
设基准运动为对称定常直线水平飞行，对刚体飞机全量运动方程组进行小扰动线性化处理。