对如下纵向非线性方程
X?mgsin??m(u?qw?rv)Z?mgcos?cos??m(w?pv?qu)M?Iyq?Izx(r2?p2)?(Iz?Ix)rp (2.1)
??qcos??rsin?进行小扰动线性化，有
X0??X?mg(sin?0???cos?0)?m?u
Z0??Z?mgcos(??)cos(?0???)?m(w?qu)M0??M?Iyq (2.2)
?0????qcos??r??q其中上述四个方程的基准运动方程为：
X0?mgsin?0?0
Z0?mgcos?0?0M0?0 (2.3)
?0?0用式(2.2)减去式(2.3)并化简得到：
?X??u??g??cos?0?m??w??Z?g??sin??uq00?m ??M?q??Iy?????q? (2.4)
然后将所给的力和力矩的导数形式
??X?Xu??u?Xw?w?Xq?q?X??T???T?X??e???e?? ??Z?Zu??u?Zw?w?Zq?q?Z??T???T?Z??e???e????M?Mu??u?Mw?w?Mq?q?M??T???T?M??e???e (2.5)
代入到式(2.4)中得到：
X??eX??TXq?XuXw?u??u?w?q?gcos?????????e?0Tmmmmm?Z??eZ??T??Zq?ZuZww??u?w??uq?gsin?????????e??0?0Tmmmm?m? ??ZZMMM?q?u?u?ww?qq???T??T???e??eIyIyIyIyIy??????q (2.6)
T然后以x?[?uwq??]为状态变量，以c?[??T??e]T为控制变量，可将式(2.6)线化成x?Ax?Bc的
形式，即
?Xu?m??u???w??Zu????m?q?????Mu?????I?y??0XwmZwmMwIy0XqmZqmMqIy1?u0?X??T??gcos?0?????u??m?Z??T??gsin?0??w??????q???m????M??T0??????I?y???0??0X??e??m?Z??e??????m??T?
??M??e??e?Iy??0?? (2.7)
以上是纵向方程组的线化形式，同理可得到横侧向方程组（其中状态变量x?[vpr?]T，控制变量
c?[?a?r]T）的线化形式为：
?Yv?m?v???p??IzLv?IzxNv2????IxIz?Izx?r?????IzxLv?IxNv????II?I2?xzzx?0?YpmIzLp?IzxNp2IxIz?IzxYr?u0mIzLr?IzxNr2IxIz?IzxIzxLr?IxNr2IxIz?Izxtan?0IzxLp?IxNp2IxIz?Izx1?Y?a?gcos?0??m??v??IL?IN?0??p??z?azx2?a????IxIz?Izx??r??????IzxL?a?IxN?a0?????2II?Ixzzx??0?0???Y?r??m?IzL?r?IzxN?r?2???a?(2.8) IxIz?Izx???r??IzxL?r?IxN?r??2?IxIz?Izx?0??
2.3求气动导数
在第二部分中已经建立了分立的小扰动线性化方程，式子中涉及到了无因次量的导数，需要求出这些导数的计算式，计算过程如下，此过程中w?u?/r2d,v?u?/r2d。要建立小扰动线性化方程，在纵向，需要求出气动力和气动力矩关于[uwq导数。
(1) 轴向力X的导数
导数是在基准状态下求得的，所以有p?q?r??a??r?0 轴向力X??T?e]的导数，在横侧向，需要求出气动力和气动力矩关于[vpr?a?r]的
1?V2SCx?T的导数有Xu、Xw、Xq、X??e、X??T： 2??X???X???V0???X???Cx???V0?1??Cx?1Xu?????????uSC??uS??????????????u0SCwsin?0??u0SCxu0x?0?2 ??u0???V0???u0???Cx???u0???u0?2??u0?其中，
X?mgsin?0?Cx?X另外有：
11?u02S?Cwsin?0?Cw?mg?u02S22?0??Cxu?0
1?u0SCx??r2d2?Cx1Cxq??Xq??u0ScCxq?(q/(2u0/c))4w?u?/r2d?Xw?X??eX??T12??u0SCx?e2?T???T
(2) 法向力Z的导数
轴向力Z?1?V2SCz的导数有Zu、Zw、Zq、Z??e、Z??T： 21Zu???Su0Cwcos?0??u0SCzuCzu?021w?u?/r2d?Zw??u0SCz??r2d2?Cz1Czq??Zq??u0ScCzq
?(q/(2u0/c))4Z??e?Z??T12?u0SCz?e2?0Cz?e??0.1925(3) 力矩M的导数
力矩M?1?V2ScCm的导数有Mu、Mw、Mq、M??e、M??T： 21Mu??u0ScCm??u0ScCmuCmu?021w?u?/r2d?Mw??u0ScCm??r2d2?Cm1Cmq??Mq??u0Sc2Cmq
?(q/(2u0/c))4M??e?M??T12?u0ScCm?e2?01?V2SCy的导数有Yv、Yp、Yr、Y??、Y?r： 2 (4) 侧向力Y的导数
侧向力Y?1?u0SCy??r2d2?Cy1Cyp??Yp??u0SbCyp?(p/(2u0/b))4v?u?/r2d?Yv?Cyr?Y????Cy?(r/(2u0/b))?Yr?1?u0SbCyr 412?u0SCy??212Y?r??u0SCy?r2 (5) 力矩L的导数
力矩L?Cy???Cy?r0.021200.086?301?V2SbCl的导数有Lv、Lp、Lr、L??、L?r： 21v?u?/r2d?Lv??u0SbCl??r2d2?Cl1Clp??Lp??u0Sb2Clp?(p/(2u0/b))4Clr?L????Cl1?Lr??u0Sb2Clr
?(r/(2u0/b))412?u0SbCl??212L?r??u0SbCl?r2(6) 力矩N的导数
力矩N?1?V2SbCn的导数有Nv、Np、Nr、N??、N?r： 21?u0SbCn??r2d21Np??u0Sb2Cnp41Nr??u0Sb2Cnr
412N????u0SbCn??212N?r??u0SbCn?r2Nv?第三部分 飞机时域响应求解
已知某飞机数据，建立描述飞机运动特性的全量运动方程。飞机的惯性数据如下表所示：
表1 飞机的惯性数据
重量(lbs) W 25000 重量(kg) W Ix Ix 9496 转动惯量(slug-ft2) Iy 55814 Iy 75673.6077 Iz 63100 Iz Ixz 982 Ixz 转动惯量(kg-m2) 85552.0953 1331.4130 11339.8093 12874.8446 飞机机翼几何尺寸如下表所示：
表2 飞机的几何尺寸 翼展b(ft) 30 9.144 机翼面积S(ft2) 300 27.8709 平均气动弦c(ft) 11.32 3.4503 翼展b(m) 机翼面积S(m2) 平均气动弦c(m) 由于不同的大气密度计算公式算出的大气密度差别很大，所以采用常用的大气模型，1976年美国标准大气
模型USSA76，该模型以地理纬度45°32′33″地区海平面为基准，全年实际大气参数的统计平均值为标准大气参数。大气基准值为：温度T0?288.15K，密度?0?1.225kg/m3，声速a0?340.294m/s。USSA适用高度范围为0km1000km，并分成低层和高层部分。低层高度为0km86km，在这里只介绍低层大气。
低层大气空气分子量为常数，大气是完全气体，处在静平衡状态，其位势高度为hp?1g0?gdh，重力加速
02h度为g?g0?R(R?h)?，h为海拔，g0?9.80665ms/2，与g0对应的地球半径为R?6356766m。于是，
hp?Rh(R?h)?h(1?h/R)。
大气参数分段计算公式： (1). 0km?h?11.0191km
?W?1?hp44.3308? ?T?288.15W????W4.25590?(2). 11.0191km?h?20.0631km
?W?exp?(14.9647?hp)6.3416??? ?T?216.650???1.5898?10?1?W0??h?20.0631km的大气参数在此不列出。声速a?20.0468T。
3.1飞机全量运动方程组