3-8 质量为m?的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成?角的速率v0
向前跳去. 当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出. 问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）.
3-9 一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上. 如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上. 试证明：在绳下落的过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的三倍.
3-14 一物体在介质中按规律x=ct3作直线运动，c为一常量. 设介质对物体的阻力正比于速度的平方. 试求物体由x0 = 0运动到x 0= l时，阻力所作的功. （已知阻力系数为k）
3-15 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水. 求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功.
3-18 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离r按F=k/r3的规律而变化，其中k为常量. 试求两粒子相距为r时的势能. （设力为零的地方势能为零. ）
3-22 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m?，从与水平成倾角?=30.0?斜面上的点A由静止下滑. 设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动. 当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货. 试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？
3-23 用铁锤把钉子敲入墙面木板. 设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比. 若第一次敲击，能把钉子钉入木板1.00?102m. 第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的
－
速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
3-27 如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为m?的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面作无摩擦滑动. 求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离.
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3-30 质量为7.2?10
－23
－
kg，速率为6.0?107m·s1的粒子A，与另一个质量为其一半而
－
静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5.0?107m·s1. 求：（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A的偏转角.
3-31 有两个带电粒子，它们的质量均为m，电荷均为q，其中一个处于静止，另一个以初速v0由无限远处向其运动. 问这两个粒子最接近的距离是多少？在这瞬时，每个粒子的qq??速率是多少？你能知道这两个粒子的速度将如何变化吗？?已知库仑定律为F?k122?
r??3-32 如图所示，一质量为m?的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为?，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为?，今有一质量为m的子弹以v0速度沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小.
3-33 如图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下. 设容器质量为m?，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上. 开始时小球和容器都处于静止状态. 当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？
动量守恒定律的三个重点
沈志斌
（ 江苏省无锡市第一中学 江苏 无锡 214031）
动量守恒定律是历年高考的热点，动量守恒定律和能量综合又会形成高考的难点。为此在高三复习过程中，每一个教师无不为之投入大量的精力，以期达到较好的复习效果。本届高三复习时间有限，我们应做到有所为，有所不为，突出重点知识和方法的复习。本文结合高三复习实践，谈谈动量守恒定律复习过程中应抓住的三个重点，供同行参考。
一．动量守恒定律的条件
教材以两个小球在光滑水平面上发生正碰撞为例，通过对每个小球应用动量定律，再根据牛顿第三定律推导出相互作用的物体构成的系统，如果不受外力，系统的动量保持不变。作为新课教学，这样处理无疑是可行的，它从具体到抽象，利于学生接受。在高三复习中，是重复课本的推导过程还是另辟蹊径？笔者在复习过程中，从系统的动量定理说明动量守恒定律的条件，起到了良好的复习效果。
1．对于一个物体，动量定理指出，物体的动量增量是由物体所受合外力的冲量决定的，即F合t??P，如果物体所受合外力的冲量等于零，则物体的动量保持不变，物体保持静止状态或匀速直线运动状态，这一点和牛顿第一定律是对应的。
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2．对于由两个（或两个以上）物体组成的整体（系统），其动量的增量由系统所受合外力的冲量所决定，即F合系t??P系，如果系统所受合外力的冲量等于零，则系统的动量不变，即
?P1??P2?0。
由上分析不难得出动量守恒定律适用的三种情况： ① 系统不受外力（理想情况）或所受合外力等于零。 ② 系统所受合外力不等于零，但某个方向上的合外力为零，则这个方向上系统动量守恒。
③ 系统所受合外力不等于零，但合外力数值有限，且相互作用的时间极短，导致系统所受合外力的冲量F合系?t?0，可以粗略地认为动量守恒，这时往往对应着相互作用力（内力）大于大于合外力。这种情况的动量守恒是较普遍的，同时有时十分隐含的，必须认真审题，才能看出。
例1 （1997年全国）如图1所示，质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x0，一物体从钢板正上方距离为3x0的
A处自由落下，打在钢板上，并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达最高点与O点的距离.
本题“打在钢板上，并立刻与钢板一起向下运动”是一个隐含的条件，物体与钢板构成的系统在竖直方向上合外力并不为零，严格来说，系统在竖直方向上动量不守恒。但是考虑到“立即”是一个极短的时间，系统在竖直方向所受合外力的冲量接近于零，故可以利用动量守恒定律来计算共同速度。
例2 （1993年全国）如图2所示，在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车（和单摆）以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短．在此碰撞过程中，下列哪个或
哪些说法是可能发生的？ 【 】
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足
(M?m0)v?Mv1?mv2?m0v3
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1和v2，满足Mv?Mv1?mv2
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足Mv?(M?m)v1 D．小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足
(M?m)v?(M?m0)v1?mv2
本题“碰撞的时间极短”说明挂住小球的绳子还未明显偏离竖直方向，对车和木块而言，绳子对小车拉力的水平分力即是小车和木块所构成的系统的合外力，由于绳子未明显偏离竖直方向，所以在这个过程（小车和木块碰撞）中，小车和木块构成的系统水平动量守恒，摆球速度不变。
二．动量守恒时系统的选择
对于两个物体相互作用，系统是什么？毫无疑问系统就是这两个物体，因为必须要有两个物体才能构成系统。如果题中出现了三个或三个以上的物体，系统是什么？很多学生觉得
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无法正确定位。这反映出一个问题：动量守恒中系统选择的依据是什么？书本并没有明确地对此做出回答。笔者认为一个简洁而有效的依据是：“依据相互作用的过程来选择物体构成系统。”因为动量守恒本身是研究相互作用的物体的动量变化规律。
例3 在例2中，我们看到小车和木块首先发生水平向的相互作用，在一这个作用的极短过程中，由于绳子没有明显偏离竖直方向，所以小球并不参与这一过程的作用，故这个过程的系统由小车和木块组成。
当小车和木块碰撞结束后，与小车和木块未达共同速度为例，小车的速度将小于小球的速度，这时小球超前小车运动，相对于小车而言，绳子拉着小球向上摆动，此时小球和小车构成的系统水平动量守恒，机械能也守恒。
例4 如图3所示，光滑的水平面的静置一块质量M?0.5kg的木板，木板上表面右端放一个质量m?0.2kg的木块，木块和木板间的动摩擦因数??0.2.在木板左侧有一个质量为m0?0.1kg的木块，以向右的水平速度v0与木板左端发生正碰，碰撞时间很短可略去不计，碰后与木板共同沿水平面运动，经过一段时间，木块m在木板上相对于木板滑动0.2m后
与木板共同运动，求v0的大小（m可视为质点） 本题中，木块与木板发生碰撞的过程中，木板上的木块对木板的摩擦力的冲量即是木板和木块构成系统所受合外力的冲量，由于“碰撞时间很短，可略去不计”，所以首先选择木块与木板构成系统，动量守恒而机械能不守恒；而后木块和木板结合在一起与木板上的木块靠滑动摩擦力相互作用，组成三物系统，满足动量守恒，但机械能不守恒。
三．数学归纳法在动量守恒中的应用
有类问题，涉及物体之间的多次动量守恒，这时往往涉及数学归纳法的运用，要求学生有较高的应用数学方法解决物理问题的能力，在高三复习时有必要加强训练，对于参加竞赛辅导的同学而言，是必备的能力。
例5 人和冰车的总质量为M，另有一木球，质量为m，M:m?31:2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦均可不计，空气阻力也忽略不计．设球与挡板碰撞后，球被反向弹回，速率与碰前相等，人接住球后再以同样的速度v（相对地面）将球沿冰面向正前方推向挡板，则人推球多少次后不能再接到球？
第一次推出球：Mv1?mv??① 小车的速度为v1?第一次接到球：mv?Mv1?(M?m)v1??②
第二次抛出球：(M?m)v1??mv?Mv2??③ 小车速度为v2?第二次接到球：mv?Mv2?(M?m)v2??④
第三次抛出球：(M?m)v2??mv?Mv3??⑤ 小车的速度为v3?由数学归纳法可知第n次抛出小球后，小车的速度为vn?mv M??3mv M??5mv M(2n?1)mv，当vn?v时，
M小车上的人将无法接到小球，代入数据得n?8.25，取n?9。
本题的另一种解法即是对系统应用动量定理。小球和小车的动量逐渐变大，其原因是小车和小球组成的系统在整个过程中受到墙壁的冲量，每次墙壁对小球的冲量（也是对系统的
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冲量）等于2mv，当抛出小球n次后，小球与墙壁碰撞了n次，根据动量定理，
2nmv?mv?Mvn，当vn?v时，小车上的人将无法接到小球，代入数据得n?8.25，取
n?9。
例6 （1995年全国）如图4所示，一排人站在x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n?1,2,3?)。每人只有一个沙袋，x?0一侧的每个沙袋质量为m?14kg，
x?0一侧的每个沙袋质量为m??10kg。一质量为M?48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此沙袋之前的瞬间速度大小的2n倍（n是此人的序号数）
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
本题是1995年全国高考题，满分是12分，笔者有幸参加了本次江苏考区的阅卷工作，全省抽样得分是2分，一方面是难度是较大，另一方面也反映学生缺乏数学归纳法的能力。
分析 （1）设第n?1次抛过后的速度为vn?1，第n次抛完后的速度为vn，由动量守恒定律得：
[M?(n?1)m]vn?1?2nmvn?1?[M?nm]vn??①
得vn?[M?(n?1)mvn?1?2nmvn?1??②
M?nmvn?1?[M?(n?2)m]vn?2?2(n?1)mvn?2??③
M?(n?1)m小车反向的条件是vn?0，vn?1?0可得2?n?4，即车上有3个球时车将反向。
（2）设车反向运动到0点的首速度为v0（为第三个球与之结合后的速度），设第k?1次抛过后的速度为vk?1，第k次抛完后的速度为vk，由动量守恒定律得：
?[M??(k?1)m?]vk?1?2kmvn?1?[M?km?]vk??④
得vk?[M??(k?1)m?vk?1?2km?vk?1??⑤
M??km?vk?1?[M??(k?2)m?]vk?2?2km?vk?2??⑥
M??(k?1)m?车不再向左滑行的条件是vk?0，vk?1?0，用M??M?3m代入，可得8?k?9，取k?8，即车上最多有11个球。
第4节 动量守恒定律及其应用
教学目标：
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