定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作
比如：
无限的趋向0 ，无限的趋向1
否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，…
依次用数轴上的点表
数列极限的几何意义：将常数A及数列的项
示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。 比如：
无限的趋向0 无限的趋向1
（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质
定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。
注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…
有界：0，1
2.数列极限的存在准则
定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件： （1）（2）
， 则
，
定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5
（1）（2）
（3）当
（三）函数极限的概念
时，
1.当x→x0时函数f（x）的极限 （1）当x→x0时f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→x0时）
例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1
x>1x→1
（2）左极限
当x→x0时f（x）的左极限
定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作
或f（x0-0）=A
（3）右极限
当x→x0时，f（x）的右极限
定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作
或f（x0+0）=A
例子：分段函数
，求
，
解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有
当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有
显然，函数的左极限
之间有以下关系：
定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
反之，如果左、右极限都等于A，则必有
x→1时f(x)→? x≠1x→1f(x)→2
对于函数
，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。
。
右极限
与函数的极限
2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+
→1
定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作
或f（x）→A（当x→∞时）
（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？
x→+∞，f(x)=2+
例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+x→+∞，f（x）=2+所以
， →2 →2
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作