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例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根. 证：设f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上连续 f（0）=1 f（1）=-3
由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1） 使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0
即方程在（0，1）内至少有一个实根。 本章小结
函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。
这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下： 一、概念部分
重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。
极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。
函数在一点连续性的三个基本要素： （1）f（x）在点x0有定义。 （2）（3）
存在。
。
常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。 二、运算部分
重点：求极限，函数的点连续性的判定。 1.求函数极限的常用方法主要有： （1）利用极限的四则运算法则求极限； 对于“
”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。
（2）利用两个重要极限求极限；
（3）利用无穷小量的性质求极限； （4）利用函数的连续性求极限； 若f（x）在x0处连续，则
（5）利用等价无穷小代换定理求极限； （6）会求分段函数在分段点处的极限； （7）利用洛必达法则求未定式的极限。
2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证名方程的根的存在性。
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