x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+
→2
例：函数
解：当x→-∞时，-x→+∞
→2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。 例如函数
，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f
的极限是1，记
，当x→-∞时，f（x）→？
(x＜0)
（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时作
其几何意义如图3所示。
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理 定理1.7（惟一性定理）如果定理1.8（两面夹定理）设函数满足条件： （1）则有
，（2）。
也成立。
存在，则极限值必定惟一。
在点
的某个邻域内（
可除外）
注意：上述定理1.7及定理1.8对
下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果（1）（2）（3）当
时，
则
时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1）（2）（3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。
另外，上述极限的运算法则对于（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数
的情形也都成立。
，如果自变量x在某个变化过程中，函数
为无穷小量，一般记作
的极限为
零，则称在该变化过程中，常用希腊字母定理1.10函数
，…来表示无穷小量。
以A为极限的必要充分条件是：
可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：
振荡型发散
就越
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为
。
2.无穷大量（简称无穷大） 定义；如果当自变量
（或∞）时，
的绝对值可以变得充分大（也为无穷大量。记作
或
。 。
即无限地增大），则称在该变化过程中，
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。 定理1.11在同一变化过程中，如果反之，如果当
为无穷小量，且无穷大 无穷小
当
为无穷小
无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
为无穷大量，则，则
为无穷小量；
为无穷大量。
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设
是同一变化过程中的无穷小量，即
。