定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即
则称函数y=f（x）在点x0处连续。 函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：
定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即
定义3设函数y=f（x），如果续；如果
，则称函数f（x）在点x0处左连
，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义
2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。 2.函数在区间[a，b]上连续
定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。 这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：连续，是指满足关系：右端点b处是左连续。
可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。 3.函数的间断点
定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。 由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一： （1）在点x0处，f（x）没有定义；
，在右端点b
，即f（x）在左端点a处是右连续，在
（2）在点x0处，f（x）的极限不存在； （3）虽然在点x0处f（x）有定义，且
，
则点x0是f（x）一个间断点。
存在，但
，则f（x）在
A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续 C.x=0处间断，x=1处连续 D.x=0处连续，x=1处间断 解：x=0处，f（0）=0
∵f（0-0）≠f（0+0） x=0为f（x）的间断点 x=1处，f（1）=1
f（1-0）=f（1+0）=f（1） ∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C
[9703]设A.0 B.
C.
D.2
，在x=0处连续，则k等于
分析：f（0）=k
［答案］B 例3[0209]设解：f（0）=e0=1
在x=0处连续，则a=？
∵f（0）=f（0-0）=f（0+0） ∴a=1 ［答案］1
（二）函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续 （2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则
在x0处连续。
定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。
在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的
处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即
定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f -1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。 （三）闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。
定理1.17（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得
推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0
（四）初等函数的连续性
由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。 定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。
利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续
也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 ［0407］