静 不 定 结 构
一． 概念题
1静不定结构与静定结构的区别是什么？
答：静不定结构有多余约束，只用静力学平衡方程不能求出全部的约束力或内力。
2与静定结构相比，静不定结构有哪些特性 答：静不定结构的强度、刚度、稳定性更好。
静不定结构的某个约束失效，整个结构的平衡不会破坏。
3什么是力法的基本体系和基本未知量，为什么首先要计算基本未知量
答：静不定结构中，解除多余约束后得到的静定结构称为原静不定结构的基本体系或称静定基。
解除多余约束并以多余约束力代替，多余约束力又称原静不定结构的基本未知量。 一般多余约束处的变形量已知。所以由该处的变形条件方程首先求出基本未知量。 4对称结构在对称力或反对称力的作用下，结构的内力各有何特点？
答：对称结构在正对称力的作用下，沿结构对称轴切开，则两对称截面上的内力对称，反对称内力为0。
对称结构在反对称力的作用下，沿结构的对称轴切开，两对称截面上的内力反对称，正对称内力为零。
5去除多余约束的方式有哪几种？
二计算题
1 如图示ABC梁，已知力FP,长度l,a，弯曲刚度EI。以固定端外力偶MA作为多余约束力，分别用卡氏定理和单位力法求梁的约束力，作梁的弯矩图，求C点的挠度。 解 1）以固定端外力偶MA作为多余约束力，则静定基本结构如图示 由平衡方程
?mB?0 FAl?MA?FPa?0
MA?FPa （向下） lMA?FPax1， (0?x1?l) l 得：FA? 2）用卡氏定理求梁的约束力
a) AB段弯矩方程 M1?MA?FAx1?MA?
?M11?1?x1 ?MAl CB段弯矩方程 M2?FPx2 (0?x2?a)
?M2?0 ?MA 36
b) A端的变形条件
l?A?0
aM?M1M?M c) 用卡氏定理 ?A??1dx1??22?0
EI?MAEI?MA00l 即：
?(MA?0MA?FPa1x1)(1?x1)dx1?0 ll11111MAl?MAl?MAl?FPal?FPal?0 22323FaMA?FPa3FPa? 得 MA?P 得：FA?
2l2l
MAl?3）用单位力法求梁的约束力
a) 在静定基本结构的A端加单位力偶M0?1。 b) 求由单位力产生的支座力 c) 由单位力产生的弯矩方程
AB段 M1?M0?FA0x1?1?x1 (0?x1?l)
CB段 M2?0 d）A 端的变形条件
?mB?01lFA0l?M0?0 得 FA0?M01? ll0?x2?a) a)
?A?0
a e) 单位力法求变形的公式
l
?A??0M1M1EIdx1??0M2M2EIdx2?0 式中 M2?0
l 即：
?(MA?0MA?FPa1x1)(1?x1)dx1?0 llMAl?11111MAl?MAl?MAl?FPal?FPal?0 22323FaMA?FPa3FPa? 得 MA?P 得：FA?
2l2l 4) 作梁的弯矩图
M1?MA?FAx1?MA? a) AB段弯矩方程
MA?FPax1lFa3Fa?P?Px122l， (0?x1?l)
CB段弯矩方程 M2?FPx2 (0?x2?a)
37
b) 梁的弯矩图如图所示 5）用卡氏定理求C的挠度?cy
M?M1M?M2 ?cy??1dx1??2dx2
EI?FPEI?FP00式中 M1?laFPa3FPa?M1a3a?x1 ??x1 (0?x1?l) 22l?FP22l M2?FPx2
?M2?x2 (0?x2?a) ?FP2 作图示刚架的弯矩图，P,l,E,I已知
3 如图示已知二梁的抗弯刚度EI相同，拉杆CD的抗拉刚度EA，求CD杆的轴力 解：设拉杆CB受力为N，AB梁在B点的桡度
Naq(2a)4N(2a)3? yB? 拉杆CB的伸长??
EA8EI3EINa3 CD梁在C点的桡度yC?
3EIq(2a)4N(2a)3Na3Na??? 变形关系为yB?yC??, 代入得 8EI3EI3EIEA2qa2qAa3? 求得 N? 2I3Aa?I3?Aa34试求图示刚架的支座反力。
解：根据结构对称，外力对称，故中面C处转角为零。且FAy?FBy?取相当系统如图示，变形条件为A处的水平位移为零，力法方程为
F2FAx??FBx，
?11X1??F?0
12 38
式中 ?1F21lFlFl3 ??[??2l]??EI222EI11220l3?11?[2l?2l??2l?l?2l?2l]?
EI233EI??得X1?FAx?1F2?11?3F 40E5如图所示一U型刚架，三段长度均为l，且抗弯刚度相同，试求Q与P应具备什么样的关系才能保证A和D之间无相对位移 解：求得支座力：RB?RC?Q 2Qx2 2 由于结构和载荷对称，可取结构的一半进行研究，用卡氏定理求位移 AB和BE的弯矩方程：MAB?Px1 MBC?Pl? 求偏导数
?MBC?MAB?x1 ?l ?P?Pl2 A,D两点的相对位移为：
?ADMBC?MBCMAB?MAB5Pl3Ql3?2?dx1?2?dx2??
EI?PEI?P3EI8EI00405Pl3Ql3P ???0 得 Q?33EI3EIl又当?AD?0时，有?AD
6 如图所示一两端固定的梁，梁跨度一半上承受均布载荷q作用，求支反力，（假定梁的
一个支座可沿水平方向滑动，因此不存在轴向反力）
解：1 静定基+多余约束力（FBy,MB）
ql 2 2 静力学方程 RA?RB?ql2 RBl?MA?MB?
8 3变形条件 yB?0, 4梁的弯矩方程：
?B?0
qll(?x)2?RB(l?x)?MB(0?x?) 222l(?x?l) CB段 M2??MB?RB(l?x)2 AC段 M1??
39
5 分别在B处加单位力和单位力偶（顺）有： M0??l?x M??1 6 由单位力法：
(0?x?l) (0?x?l)
M1M0M2M07ql4RBl3MBl2dx??dx??? yB?? EIEI384EI3EI2EIl02l2l2lM1MM2MRBl2MBlql3dx??dx???? ?B?? EIEI48EI2EIEIl02l 7 由变形条件yB?0?B?0 代入上式得
128RBl?192MB?7ql2?0 24RBl?48MB?ql2?0
13ql32112ql MA?192 8 由7和2联立求得：RA?RB?3ql 325MB?ql2
192
7 如图所示桁架，已知力F及各杆的轴向刚度都为EA，长度为a。求各杆所受的力。 解：1）桁架的支座反力是静定的，取整体为研究对象，求得支座反力 RC?1F3RB?2F 3 2) 桁架内部为一次静不定，在杆1中间切开后，桁架成为静定基。 3）由杆1切口的变形条件，即切口的相对位移??0，由单位载荷法 ???11X1??1P?0 ?1P?NiNili3?22?EA?EAFa
iNiNili1?(4?42)a EAiEA
?11?? X1???1P?11?3?225.8283F?F?F
9.65654?42 40