第4章 概率统计
则结果如下：
ans =
15.0600
命令 由分布律计算均值 利用sum函数计算
例4-40 设随机变量X的分布律为：
X P -2 0.3 -1 0.1 0 0.2 1 0.1 2 0.3 求E (X) E(X2-1)
解：在Matlab编辑器中建立M文件如下：
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1
EY=sum(Y.*p)
运行后结果如下：
EX = 0 Y =
3 0 -1 0 3 EY =
1.6000
4.5.4 方差
命令 求样本方差 函数 var
n1格式 D=var(X) %var(X)=s?则返回向量的样本方差。 (xi?X)2,若X为向量，?n?1i?12 D=var(A) %A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。
D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为1的方差）
nD=var(X, w) %返回向量（矩阵）X的以w为权重的方差 命令 求标准差 函数 std
格式 std(X) %返回向量（矩阵）X的样本标准差（置前因子为1）即：
n?1std?1nx?X in?1?i?1std(X,1) %返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为
1） nstd(X, 0) %与std (X)相同
std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为dim的标准差值，其中flag=0
时，置前因子为1；否则置前因子为1。
nn?1
149 MATLAB6.0数学手册 例4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差
14.70 15.21 14.90 15.32 15.32
解：
>>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; >>DX=var(X,1) %方差 DX =
0.0559
>>sigma=std(X,1) %标准差 sigma =
0.2364
>>DX1=var(X) %样本方差 DX1 =
0.0671
>>sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590
命令 忽略NaN的标准差 函数 nanstd
格式 y = nanstd(X) %若X为含有元素NaN的向量，则返回除NaN外的元素的标准
差，若X为含元素NaN的矩阵，则返回各列除NaN外的标准差构成的向量。
例4-42
>> M=magic(3) %产生3阶魔方阵 M =
8 1 6 3 5 7 4 9 2
>> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换3阶魔方阵中第1、6、8个元素为NaN M =
NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2
>> y=nanstd(M) %求忽略NaN的各列向量的标准差 y =
0.7071 2.8284 2.8284
>> X=[1 5]; %忽略NaN的第2列元素
>> y2=std(X) %验证第2列忽略NaN元素的标准差 y2 =
2.8284
命令 样本的偏斜度 函数 skewness
格式 y = skewness(X) %X为向量，返回X的元素的偏斜度；X为矩阵，返回X各
列元素的偏斜度构成的行向量。
y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的数据比均值右边的数据更散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散，
E(x??)3因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的：y?
?3 150 第4章 概率统计
其中：μ为x的均值，σ为x的标准差，E(.)为期望值算子 例4-43
>> X=randn([5,4]) X =
0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686 -1.3362 1.2540 0.6900 1.1908 0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025 1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198 -0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567 >> y=skewness(X) y =
-0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652 >> y=skewness(X,0) y =
-0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954
4.5.5 常见分布的期望和方差
命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat
格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差，
A、B也可为向量或矩阵，则M、V也是向量或矩阵。
例4-44
>>a = 1:6; b = 2.*a; >>[M,V] = unifstat(a,b) M =
1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000 V =
0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000
命令 正态分布的期望和方差 函数 normstat
格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU、SIGMA可为标量也可为向量或矩阵，
则M=MU，V=SIGMA2。
例4-45
>> n=1:4;
>> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n) M =
1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 V =
1 4 9 16 4 16 36 64 9 36 81 144 16 64 144 256
命令 二项分布的均值和方差 函数 binostat
格式 [M,V] = binostat(N,P) %N，P为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量
或矩阵。
151 MATLAB6.0数学手册 例4-46
>>n = logspace(1,5,5) n =
10 100 1000 10000 100000 >>[M,V] = binostat(n,1./n) M =
1 1 1 1 1 V =
0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000 >>[m,v] = binostat(n,1/2) m =
5 50 500 5000 50000 v =
1.0e+04 *
0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000
常见分布的期望和方差见下表4-6。
表4-6 常见分布的均值和方差
函数名 unifstat unidstat expstat normstat chi2stat tstat fstat gamstat betastat lognstat nbinstat ncfstat nctstat ncx2stat raylstat Weibstat Binostat Geostat hygestat Poisstat 调用形式 [M,V]=unifstat ( a, b) [M,V]=unidstat (n) [M,V]=expstat (p, Lambda) [M,V]=normstat(mu,sigma) [M,V]=chi2stat (x, n) [M,V]=tstat ( n) [M,V]=fstat ( n1, n2) [M,V]=gamstat ( a, b) [M,V]=betastat ( a, b) [M,V]=lognstat ( mu, sigma) [M,V]=nbinstat ( R, P) [M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta) [M,V]=nctstat ( n, delta) [M,V]=ncx2stat ( n, delta) [M,V]=raylstat ( b) [M,V]=weibstat ( a, b) [M,V]=binostat (n,p) [M,V]=geostat (p) [M,V]=hygestat (M,K,N) [M,V]=poisstat (Lambda) 注 释 均匀分布(连续)的期望和方差，M为期望，V为方差 均匀分布（离散）的期望和方差 指数分布的期望和方差 正态分布的期望和方差 卡方分布的期望和方差 t分布的期望和方差 F分布的期望和方差 ?分布的期望和方差 ?分布的期望和方差 对数正态分布的期望和方差 负二项式分布的期望和方差 非中心F分布的期望和方差 非中心t分布的期望和方差 非中心卡方分布的期望和方差 瑞利分布的期望和方差 韦伯分布的期望和方差 二项分布的期望和方差 几何分布的期望和方差 超几何分布的期望和方差 泊松分布的期望和方差 4.5.6 协方差与相关系数
命令 协方差 函数 cov
格式 cov(X) %求向量X的协方差
cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的
方差，即：var(A)=diag(cov(A))。
cov(X,Y) %X,Y为等长列向量，等同于cov([X Y])。
152 第4章 概率统计
例4-47
>> X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]'；
>> C1=cov(X) %X的协方差 C1 = 1
>> C2=cov(X,Y) %列向量X、Y的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差 C2 =
1.0000 0 0 0.3333 >> A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3] A =
1 2 3 4 0 -1 1 7 3
>> C1=cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵 C1 =
3.0000 -4.5000 -4.0000 -4.5000 13.0000 6.0000 -4.0000 6.0000 5.3333
>> C2=var(A(:,1)) %求A的第1列向量的方差 C2 = 3
>> C3=var(A(:,2)) %求A的第2列向量的方差 C3 = 13
>> C4=var(A(:,3)) C4 =
5.3333
命令 相关系数 函数 corrcoef
格式 corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y的相关系数，等同于corrcoef([X corrcoef (A) %返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵 例4-48
>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9] A =
1 2 3 4 0 -1 1 3 9
>> C1=corrcoef(A) %求矩阵A的相关系数矩阵 C1 =
1.0000 -0.9449 -0.8030 -0.9449 1.0000 0.9538 -0.8030 0.9538 1.0000
>> C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求A的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵 C1 =
1.0000 0.9538 0.9538 1.0000
4.6 统计作图
4.6.1 正整数的频率表
命令 正整数的频率表
Y])。
153